01 维度之谜
你可以走自己的路，走自己的路。
佛利伍麦克合唱团（Fleetwood Mac）
不同维度，而不是异度空间
“艾克，我对自己写的这个故事不太有把握，我想加进更多层次，让它更加多维，你觉得这个主意怎么样？”
“阿西娜，你大哥我对于编故事可不太在行！可是，你要让它更加多维，这不会有什么害处。那么，你是要增加新的人设呢，还是要让现有人设的个性更丰满？”
“都不是，我不是这个意思。我要引进新的维度，类似于新的空间维度。”
“你不是开玩笑吧，你要写异度空间？就是人们会有异度灵魂体验，抑或人们死后或临死时会去的那些地方？
我没想到你还会对那种东西感兴趣。”
“别呀，艾克，你当然知道我不感兴趣。我说的是不同的空间维度，不是异度灵魂世界。”
“可是不同的空间维度又能有什么差别？难道换一张不同边长的纸，比如说，把11厘米×8厘米换成12厘米×9厘米，会带来什么变化？”
“别闹了，你还没弄明白我说的意思。我是真的打算加上一些新的空间维度，就如我们看得见的维度一样，只是沿着完全不同的方向。”
“还有我们看不见的维度？我还以为三维就是世界的全部了呢。”
“耐住性子，艾克。我们很快就会弄明白的。”
“维度”这个词，就像许多描绘空间或是在空间中运动的词汇一样，可以有多种释义——我想目前为止我已经听到了全部。因为我们所看到的事物都有它在空间里的图像，因此在描述许多概念时，包括时间和思维，我们也常常使用一些空间术语。这就是说，应用于空间的许多词汇都有多重含义。当我们在专业领域使用这些词汇时，那些不同的含义会使它们的定义变得非常混乱。
额外维度
当我们将其应用于空间之中时，那个空间本身就超出了我们的感官体验。看不见的东西往往难以描述，而我们的生理机能天生就看不见超出三维的空间。我们无法直接观察额外维度，即使它们真的存在。
“额外维度”这个术语尤其令人迷惑，当我们将其应用于空间之中时，那个空间本身就超出了我们的感官体验。看不见的东西往往难以描述，而我们的生理机能天生就看不见三维之外的空间。光、引力以及所有用于观察的工具，给我们展现的世界都像是一个只含有三维的空间。
我们无法直接观察额外维度，即使它们真的存在。所以有些人会担心，妄图去领悟额外维度的尝试着实让人头疼，BBC的一位新闻主持人在一次采访中就是这么对我说的。但是，令人不安的不是想象额外维度，而是描绘它们。描绘高维世界的图像必然会引出复杂的问题。
而想象额外维度，完全是另外一回事，我们完全可以想象它们的存在。当我和同事们用到“维度”和“额外维度”这些词时，我们的大脑就会浮现出它们清晰的概念。因此，请不要急于弄清楚这些新概念在宇宙中会以什么样的图像呈现出来，在此之前，我首先要解释一下“维度”和“额外维度”这两个词，以及在后面用到它们时，我所表达的意思。
我们很快就会发现，当不止有三个维度时，“一言胜千图”。当然，一个方程也如此。
从一维到多维
其实我们每天都在与高维空间打交道，只不过大多数人都不会以此来考虑问题。想想看，当你做一个重要决定（如购置房产）时，会考虑多少因素？你可能要考虑房子的大小，附近有没有学校，离你想去的地方有多远，建筑风格是什么样的，周围是否有噪声，等等。你得将所有愿望和要求都罗列出来，然后在多维里作出最佳决策。
维数
维数就是完全确定空间一点所需知道的量的数目。高维空间可以是抽象的，也可以是具体的。
维数就是完全确定空间一点所需知道的量的数目。高维空间可以是抽象的，比如刚才用来描述你想买的房子特征的那个空间；也可以是具体的，比如我们即将探究的物理空间。不过，买房子时，你也可以把维数看作你在数据库里记录的条目数量，也就是值得你考虑的备选项的数目。
一个更为浅显易懂的例子是将维度应用于人。
如果你认定某人是一维的，那么在你脑海里就会有一个非常具体的理由：这个人只有一种兴趣。比如，山姆成天宅在家里，除了看体育节目外什么都不干，那么描述他就只需要上述这一条信息。你甚至可以将山姆爱看体育节目的嗜好用一维图上的一点画出来（见图1-1）。在画图时，要明确单位，这样别人就可以明白沿着这条唯一轴线的距离代表什么。在图1-1中，山姆被表示为横轴上的一点，这张图表现的是山姆每周看体育节目的小时数。
图1-1 一维山姆定位图。
我们再深入地探讨这个概念：艾克，波士顿居民，是一个更为复杂的人。事实上，他是三维的：21岁，爱开快车，每月都会在旺德兰（波士顿附近一个有赛犬场的小镇）输钱。图1-2画出了艾克，尽管图是画在一张二维图纸上的，但三条轴却说明艾克绝对是三维的。
图1-2 三维艾克定位图。V形实线是三维定位图的坐标轴，标志为艾克的点对应的是一个21岁、每月在旺德兰输掉24美元、每周超速驾驶平均3.3次的男孩。
可是，当描绘大多数人时，我们通常赋予他们不止1个甚至3个特点。阿西娜，艾克的妹妹，是一个酷爱读书的11岁小女孩，擅长数学，了解时事，还养猫头鹰做宠物。也许你想给这些也来个定位（尽管我不太确信是出于什么原因），那样的话，阿西娜就应该是五维空间里的一个点，对应的轴有年龄、每周所读书的数量、数学平均成绩、每天读报的分钟数以及所养猫头鹰的数量。但是，要我画出这样一幅图却很困难，因为这需要一个五维空间。即便是电脑程序，也只能做得出三维图像。
不管怎么说，在抽象意义上存在着一个五维空间，它有一个5个数的集合，比如11、3、100、45、4，它表示的是：阿西娜11岁，平均每周读3本书，数学成绩满分，每天读报45分钟，现在养着4只猫头鹰。用这5个数字，我就把阿西娜描述了出来。如果你认识她，那么通过五维空间里的这个点，就能认出她。
以上3个人，每个人对应的维数就是我辨认他们所需的特征的数量：山姆，1个；艾克，3个；阿西娜，5个。当然，作为一个真实的人，仅凭这几条信息，远不足以了解他。
图1-3 三维空间里的三条坐标轴。
在后面的章节中，我们将用维度来探索空间而非人。这里的“空间”指的是，物质存在以及物理过程发生的区域。一个有着特定维数的空间，指的是需要特定数目的量来确定一个点的空间。在一维空间中，一个点的定位图只有一条x轴；在二维空间中，这个点的定位图有x轴和y轴；而在三维空间中，这个点的定位图就有x、y、z三个轴（见图1-3）。
在三维空间中，你只需要3个数字就可以知道自己的确切位置。你确定的数字可以是经度、纬度和海拔，也可以是长度、宽度和高度，或者你还有别的方法来选择你的3个数字。这都无关紧要，问题的关键在于，三维意味着你需要不多不少的3个数字；二维是，你需要2个数字；而多维是，你需要更多数字。
更多维度意味着，你可以在更多完全不同的方向上自由移动。一个在四维空间里的点，只需再加上一条轴——但还是难以描绘。不过想象它的存在并不困难，我们可以用语言和数学名词来尝试。
弦理论提出还有更多维度：它推想有6个或7个额外维度，也就是说，我们需要有6个或7个额外坐标轴来定位一个点。弦理论的最新成果显示，可能还远不止这些维度。在本书中，我会敞开思想，无论有多少额外维度，我都欣然接受。现在，要说出宇宙究竟包含多少维度，未免为时过早。我要描述的有关额外维度的许多概念都适用于任意数量的额外维度，只在很少几个场合有例外情况，届时，我会尽量解释清楚。
可是，要描绘一个物理空间，不仅仅要确定一些点，还需要明确一个度规（metric）。它确立测量的标度，即两点间的物理距离，也就是轴线上的刻度。这就是说，仅仅知道几个点之间的距离是17远远不够，我们还要知道17代表的是17厘米、17公里，还是17光年。我们用度规来决定怎样测量距离，图上两点之间的距离对应的是其所代表的世界里的量。度规给出了一个测度标准，说明你选择以哪种测量单位来确定标度，就如在一张地图上，0.5厘米可能代表1公里，或者如在米制单位中，它给出了大家认同的1米的标杆。
度规
它确立测量的标度，即两点间的物理距离，它们是轴线上的刻度。但度规还不仅仅确定这些，它还会告诉我们空间是否弯曲或是卷曲。度规包含了有关空间形状的所有信息，弯曲空间的度规既指明长度，也指明角度。
但度规还不仅仅是确定这些，它还会告诉我们空间是否弯曲或是卷曲，就如同一个被吹起的气球表面。度规包含了有关空间形状的所有信息，卷曲空间的度规既指明长度，也指明角度。正如1厘米可以代表不同的长度，角度也可以对应不同的形状。之后，当我们探索弯曲空间与引力的关系时，我还会讲到这些。现在我们只说一点，即球体的表面与一张纸的平直表面是不同的，球面上的三角与纸面上的三角也不同，这种二维空间的差异可以从它们的度规看出来。
随着物理学的进步，度规里存储的信息量也在不断演变。爱因斯坦创立相对论时，认识到第四维度——时间，是与空间的其他三维密不可分的。时间也需要一个标度，于是爱因斯坦用四维时空（在三个空间维之上加入时间维）的度规构造了引力。
更新的研究成果显示，其他空间维度也有可能存在。那样的话，真正的时空度规将包含三个以上的空间维度。人们怎样描绘一个多维空间？那就是说出它有多少维度，以及那些维度的度规是什么。但是，在我们进一步探索度规和多维空间的度规之前，我们要再多想想“多维空间”这个术语的含义。
《巧克力工厂》旺卡梯的秘密
在挪威大名鼎鼎的作家罗尔德·达尔（Roald Dahl）的著作《查理和巧克力工厂》（Charlie and the Chocolate Factory）中，威利·旺卡（Willy Wonka）给客人介绍了他的“旺卡梯”，用他的话来说“电梯只能向上和向下，而旺卡梯却能够向前、向后、向左、向右、向旁边，无论是横向、竖向、斜向、侧向，只要是你能想到的方向，它都可以到达”。确实，他的装置可以向任何方向移动，只要不超出我们所认知的三维空间。这可真是个富有创意的好主意！
然而，“旺卡梯”并不真正能够向任何“你能想到的”方向移动。威利·旺卡也真够粗心的，他忘记了额外维度通道。额外维度是一个完全不同的方向，它们难以描述，可是通过一个比方，就很好理解了。
1884年，为了阐释额外维度这一观念，英国数学家埃德温·阿博特（EdwinA.Abbott）写了一本小说：《平面国》（Flatland：A Romance of Many Dimensions）。故事发生在一个虚构的二维宇宙——也就是书名里的平面国中，那里的居民都是二维生物（有着不同的几何形状）。阿博特要告诉我们的是，我们这个世界的人对四维概念充满了迷惑，正如平面国的居民感觉三维概念无比神秘，因为他们一生都生存在一个二维空间中，比如桌面上。
对我们来说，只要展开想象就能理解三维之外的世界，而对于平面国的居民来说，三维简直无法想象。那里的所有人都认为，宇宙显然只有他们所感知的两个维度，就像我们坚持三维观念一样，平面国的居民对二维自然也是深信不疑。
小说里的叙事者，正方形A（作者埃德温A的别名），被领进了三维世界中。在接受教育的第一阶段，他仍被限制在平面国，这时，让他观察一个三维球体垂直地穿过他所在的二维世界。因为受限于平面国，当球体穿过正方形A所在的平面时，他看到的是大小不等的一摞盘子，先是慢慢变大，然后渐渐变小——其实，这就是球体的一个个切片（见图1-4）。
图1-4 球体穿过平面的图示。如果一个球体穿过一个平面，二维观察者看到的就是一个盘子，而观察者在一段时间内所看到的一系列盘子就形成了这个球体。
一开始，这令《平面国》中的二维叙事者颇感费解，他从未想到会有超出二维的东西，也就不能想象会有像球体一样的三维物体。直到正方形A被抬离平面国，进入一个三维世界，他才能真正想象一个球体。从这样一个新视角，他认识到球体就是他所看到的二维切片粘连在一起的结果。即使在二维世界里，正方形A也可以把他看到的盘子描绘成一个时间的函数，从而形成球体（见图1-4）。只有当他经历了第三维度的旅行之后，他才打开眼界，明白了球体和它的第三维。
通过这个类比，我们可以想象，当一个超球体（有4个空间维度的球体）穿过我们的宇宙时，它看起来就应该是一个三维球体随着时间的推移，先是慢慢增大，然后渐渐缩小。令人感到遗憾的是，我们无缘进入额外维度旅行，也就永远看不到一个完整、静态的超球体，但我们还是可以推想物体在不同维度里的样子，即使我们看不见那些维度。我们可以满怀信心地推断，一个穿越三维空间的超球体看起来就应是一系列三维球体。
再举一例，我们设想一下怎样构造超立方体——即立方体在三维空间里的延伸。一条一维直线连接两个点构成一条线段；在此线段上方再加一条一维线段，用另外两条线段将它们连接，就构成了一个二维正方形；以此方式继续，将另一个正方形置于这个上方，再在原正方形的每个边上以另外4个正方形连接，我们就能得到一个三维立方体（见图1-5）。
图1-5 三维立方体形成图。图中显示的是我们将低维度物体连接，形成高维度物体的方式。先连接两点形成线段，然后连接两条线段形成正方形，再连接两个正方形形成立方体，最后，连接两个立方体形成一个超立方体（在此没有图片，因为很难画出）。
依此类推，在四维空间中，我们可以得到一个超立方体；在五维空间也能得出某个东西，暂时还没有名称。即便我们三维中的凡人从未见识过这两种物体，我们也可以根据在低维空间中的方法作出推论：要形成一个超立方体（也叫超正方体），就是把一个立方体置于另一立方体之上，然后加进另外6个立方体，并在原来两个立方体的每个面上进行连接。虽然这种构建很抽象，也很难描绘，但这并不影响超立方体的真实性。
在读高中的时候，我参加过一个数学夏令营。在那里，我看了电影《平面国》。电影结束的时候，叙事者徒劳地指向平面国居民根本看不到的第三维度，用一种愉快的英式口音说：“向上，不是向北。”遗憾的是，当我们试图指向第四维度，即一个通道时，我们面对的是同样的困境。在阿博特的小说中，即使第三维度存在，平面国的居民仍然无法看到，也无法在其中穿行；同样地，我们看不到额外维度，但并不代表它们不存在。因此，尽管我们还没有看到，也没有在这样的维度中穿行，贯穿本书的潜台词仍然是：“不是向北，而是沿着通道向前。”谁知道我们尚未看见的东西会是什么呢？
二生三
本章的后半部分，我们不再考虑三维之外的空间，而是讨论如何凭借有限的视觉能力，用二维图像来思考和绘制出三维图像。明白怎样将二维图像转化成三维现实，将有助于我们解释高维世界里的低维“图像”。在我们的思想随着额外维度一同卷曲之前，权且在这儿做一下热身运动。别忘了，我们在日常生活中一直在与维度打交道，所以其实这并不陌生。
通常，我们所看到的都是物体的表面，而表面只是其外缘。即使这个表面在三维空间里卷曲了，它也只有两个维度，因为在这个表面上，你只需两个数字就能定位一个点。因为它没有厚度，我们推定这个表面不属于三维。
当我们看照片、电影、电脑屏幕或书中的插图时，我们看到的总是二维而非三维的表象，但我们仍能推断出图像所体现的三维实体。
我们能用二维信息构筑三维，这要求我们在制作二维图像时，要忽略一些信息，同时还要保留足够的信息来重现原来物体的基本元素。现在，我们来回想一下，通常将一个三维物体降为二维，都使用什么方法——切片、投影或者全息图，有时干脆忽略一个维度。我们又怎样将其复原，推断出它们所表现的三维物体？
通常，最简单的办法就是切片。每一片都是二维的，但所有这些切片结合在一起就形成了一个真正的三维物体。例如，在熟食店买火腿时，你拿到的肯定是一摞二维火腿片，而不是整个三维火腿。将所有切片摞在一起，你就可以重构其完整的三维形状。
这本书是三维的，但其中的书页只有二维，所有二维书页集合在一起，就构成了这本书。我们可以用多种图示方法来显示这种书页的集合，如图1-6中，我们看到的书是平放的，在这个图中，我们再次玩起了维数游戏，因为每条线段代表的都是一页。只要我们能明白那些线段代表的是二维书页，这个图示就很清楚了。以后描述高维世界的物体时，我们会使用同样的降维方法。
图1-6 由二维书页构成的三维图书。
切片只是以二维代替三维的众多方式之一，另外还有一种方式是投影，这是从几何学中借用的一个术语。为生成一个物体的低维图像，投影给出的是一个绝对处方——墙上的影子就是三维物体的二维投影（见图1-7）。从图中可以看到，我们（或是兔子）做投影时，会丢失许多信息。沿着墙左右和上下的方向，只需两个坐标就能定位影子上的点，但是被投影的物体实际上还有第三维，这个信息是投影所不能保留的。
图1-7 兔子的二维投影。投影保留的信息要少于多维物体本身。
实现投影的最简单方法是忽略一个维度，例如，图1-8显示了一个三维立方体在二维平面上的投影，它的投影可以有多种形式，其中最简单的一个是正方形。
图1-8 一个立方体的投影。注意，投影可以是正方形，像中间那个图，也可以是其他多种形状。
再回到前面有关艾克和阿西娜的定位图，我们可以忽略艾克喜欢超速驾驶这一信息，把它变成一个二维图。我们也可以不管阿西娜所养的猫头鹰数量，这样，就可以绘制出一幅四维而非五维的图，而忽略阿西娜的猫头鹰就是一个投影方式。
投影忽略了原来三维物体的信息（见图1-7），不过，我们用投影制作二维图时，有时会加入一些信息，以帮助我们重获部分丢失的东西。这些附加信息可以是油画或全息图中的阴影、颜色，也可以是地形图中表示高度的数字，但有时什么标识都没有，这样一来，二维特写就不可能提供那么多的信息了。
如果不是我们双眼协同合作，帮助我们重构三维图像，那么我们看到的所有东西都将是投影。如果闭上一只眼睛，你就很难感知远近——一只眼睛只能构建一个三维现实的二维投影，所以我们需要两只眼睛来重建三维图像。
我一只眼睛近视，另一只眼睛远视，如果不戴眼镜，我就不能将两只眼睛看到的影像完美结合，而偏偏我又很少戴眼镜。尽管有人告诉过我，说我重建三维图像时会有困难，我却并没觉得有什么问题：在我看来，物体还是三维的，这是因为我可以凭借阴影和视角（以及我对这个世界的熟悉程度）来重建三维图像。
可是有一天在荒漠里，我和一个朋友正向远处的峭壁前进，朋友不停地告诉我说，我们可以直达峭壁。我就纳闷他怎么坚持要我们径直穿过一块大石头呢？我原以为那块大石头是峭壁直接突出形成的，会完全挡住我们的路。而实际上，它离我们很近，就在峭壁前面，根本没有与峭壁连在一起，因此也就不会挡路。之所以我会有这种误解，是因为我们是在正午靠近峭壁的，当时它没有影子，我也就没有办法以此构建第三维度，而只有这个维度，才会让我知道远处的峭壁与大石头相隔的距离。直到那次失败，我才意识到阴影和视角的补偿作用。
绘画就是要求艺术家把他们所看到的物体简化成投影。中世纪艺术使用了投影的最简单方式，图1-9显示的是一幅镶嵌玻璃画，画上是一个城市的二维投影，这幅画上没有显示第三维度的任何信息，也没有任何标识或迹象来表明第三维度的存在。
图1-9 中世纪的一幅两维镶嵌玻璃画。
自中世纪起，画家们发展了投影的方法，来部分补偿绘画中的维度缺失。与这一方法对立的是20世纪立体派所使用的方法，立体主义油画（见图1-10，毕加索的《朵拉·玛尔的肖像》[Portrait of Dora Maar]）能同时呈现多个投影，每个投影展现的是一个不同角度，以此来表现物体的三个维度。
但是，自文艺复兴以来，多数西方画家都用透视和阴影来形成第三维度的幻觉。绘画的一个基本技巧就是要将三维世界简化成二维图像，而且要让观赏者逆转这个步骤，重建本来的三维图像或物体。即使并非所有三维信息都存在，因为我们适应了这种技法，仍然知道该怎样去解读图像。
艺术家甚至尝试过在二维平面上表现更多维度的物体，例如，萨尔瓦多·达利（Salvador Dali）的《耶稣受难图》（Corpus Hypercubus，见图1-11）将十字架表现为一个打开的超立方体。超立方体在四维空间里由8个相连的立方体构成，在图1-12中，展示了超立方体的几个投影。
图1-10 毕加索立体主义油画《朵拉·玛尔的肖像》。
图1-11 《耶稣受难图》
图1-12 超立方体投影图。
我曾在引言中举过一个物理学的例子：不粘锅里的准晶体，它看起来就像是一个高维晶体在我们三维世界里的投影。除了服务于艺术之外，投影当然也有其现实意义，医学中就有许多三维物体投影到二维空间的例子：X光片记录的就是一个二维投影；CAT（电脑辅助X线断层照相术）扫描将多个X光片结合起来，重建了一个更为详尽的三维图像。有了从不同角度拍摄的足够多的X光片，我们就可以把它们串连成一个完整的三维图象；另外还有MRI（核磁共振成像）扫描，它是通过切片来重构三维物体的。
全息照片是另外一种在二维表面记录三维信息的方式。尽管全息图像被记录在低维表面，但它实际上涵盖了原来三维空间的所有信息。也许你在钱包里就能看到这种技术：你信用卡上看起来像是三维的那个图像，就是一张全息照片。
全息图像记录了在不同地点的光的关系，这样，就能够重现一个完整的三维图象。这就好比立体声所使用的原理，它能让我们听出录音时不同乐器所处的位置。利用全息图像所存储的信息，眼睛就可以真实重现它所代表的三维物体。
这些方法显示的是，我们怎样从一个低维图像中获取更多信息，但你真正需要的也许是更少的信息。比如，有些东西在第三维度上非常非常薄，在这个层面上，根本没有什么有趣的事会发生，尽管这张纸上的墨迹实际是三维的，但我们把它当作二维的也不会有什么损失。除非把它放在显微镜下，我们根本不会去想墨迹的厚度。一根电线看起来是一维的，但如果仔细观察，你还是能看到它有一个二维横截面，因此也该是三维的。
有效理论，忽略细枝末节
忽略另外一个看不见的维度没有什么不对，不仅仅是视觉效果，即使是物理作用，如果微小到难以察觉，也常常可以忽略。科学家们在阐述自己的理论或进行计算时，常常忽略（通常是无意识地）一些微小到不可察觉的物理过程。牛顿的运动定律在他能观测的距离和速度上是有效的，他不需要广义相对论的细节仍然作出了成功的预言；生物学家研究细胞时，也不需要了解中子里的夸克。
挑选相关信息，略去细枝末节，这是一种实用主义的做事方法，我们每个人每天都会这样做。这是一种应对冗余信息的办法，对于你所看到、听到、尝到、闻到或触摸到的任何东西，你都可以选择，是细细品味不放过任何一个细节，还是只需了解其“大概”，抓住主要特征？无论是欣赏油画、品味美酒、阅读哲学，或是安排旅游，你都会不由自主地将自己的想法按照兴趣归类——可能是大小、口味，也可能是观念，而当时你并未发现这些归类有什么相关。适当的时候，你会忽略一些细节，以便将精力集中在你感兴趣的问题上，而不至于被一些无关紧要的线索所迷惑。
这种摒弃细枝末节的过程应该并不陌生，因为它实际上是我们人类一直在做的。以纽约为例，身居这个繁华都市的纽约人都能够看到曼哈顿的细节和变化。对他们来说，闹市区更为繁华、古老，街道更为崎岖、狭窄；而城郊为了方便人们居住、建造了更多的房产，还有许多中心公园和博物馆。尽管对外人来说，这些差别实际上是很模糊的，但在这个城市之内，它们却真实存在。
但想想远离纽约的人是怎么看的：对他们来说，纽约就是地图上的一个点，也许是一个重要的点、一个有着鲜明特征的点，但仅此而已。即便各不相同，可在别处看来，比如说中西部或是哈萨克斯坦，纽约人并无差别。当我提起这个比方时，住在闹市区（具体来说，是西村）的表弟大为不满，不愿将居住在闹市区和城郊的纽约人归为一类，这更证实了我的观点。但任何一个非纽约人都会告诉他，对并不生活在他们中间的外人来讲，其间的差别实在太小，真的无关紧要。
在物理学中，正式使用这种直觉并以相关的距离或能量来划分范畴已成为常规做法。物理学家接受这种做法，并为它取了名字——有效理论（effective theory）。
有效理论集中研究那些在相关距离内产生“效果”的粒子和力，我们不会用不可测量的、描述超高能行为的参数来描述粒子及其相互作用，只用那些与我们能探测的尺度相关的事物来构建我们的发现。在任何一个尺度上，有效理论都不会深入探究作为其基础的小尺度理论的细节，它只关注有望被测量或者观察到的事物。如果某个事物超出了你所在尺度的精度，那么你无须考虑其详细结构。这种做法并非科学诈骗，而是忽略冗余信息的一种方式，这是获得正确答案的一种“有效”方式。
有效理论
在物理学中，正式使用这种直觉并以相关的距离或能量来划分范畴已成为常规做法。物理学家接受这种做法，并为它取了名字——有效理论。如果某个事物超出了你所在尺度的精度，那么你无须考虑其详细结构。这种做法并非科学诈骗，而是忽略冗余信息的一种方式，这是获得正确答案的一种“有效”方式。
当高维细节超出我们的能力时，所有人，包括物理学家在内，都乐于回到三维世界。正如物理学家常常把一根电线当作一维事物对待一样，如果额外维度极其微小，那么高维细节则无关紧要，我们也常常以低维方式来描绘高维宇宙。额外维度小到无法看见，这样所有可能的高维理论，我们都可以通过这种低维描述来总结其可观察的效果。这个低维描述不受那些额外维度数量、大小和形状的影响，足以实现很多目的。
低维的数目不提供根本描述，但它们却是归纳发现和预言的简便方法。如果你确实了解一个理论的小距离细节（即微观结构），就可以利用它们导出发生在低能描述里的量，否则那些量就只能是等待实验来确定的未知数。
在接下来的章节中，我们将详细讲述这些观点，并探究微小、卷曲的额外维度的作用。我们将首先探讨的那些维度非常微小，小到根本不会产生任何影响；然后，当再次回到额外维度时，我们会探索庞大且无限延伸的维度，它们彻底改变了我们现在描绘的这一图像。