第一节　傅里叶变换原理

一、傅里叶变换（Fourier Transformation/FT）的数学表述

在高等数学中，读者已对傅里叶级数有了认识。若满足Dirichlet条件，即可借助傅里叶级数，将周期为T的函数f（t）表示成多项正弦及余弦之和。

　　（5-1）

式中，傅里叶系数为

实际上，傅里叶系数表明了某一频率对构成函数f（t）所做出的贡献。

更一般地，针对非周期函数f（t），可以将其看作周期无限大的周期函数，从而将函数的傅里叶变换表述为

　　（5-2）

式中，根据欧拉（Euler）公式，有

exp（-j2πut）=cos（2πut）-jsin（2πut）

而

式（5-2）中的u称为“频率变量”。

若将式（5-2）解释为离散项和的极限，则函数f（t）经傅里叶变换后获得的F（u）包含无限个正弦项及余弦项，u确定了所对应的正弦及余弦项的频率。F（u）表达了不同频率成分的多少。由此，经过傅里叶变换，时间域函数f（t）便可以转换为频谱函数F（u）。

同时，如果F（u）已知，则可以借助傅里叶反变换重新获得函数f（t）：

　　（5-3）

式（5-2）和式（5-3）合称“傅里叶变换对”。

一般地，实函数傅里叶变换的结果大多是复函数，即F（u）由实部R（u）和虚部I（u）组成

F（u）=R（u）+jI（u）

幅度函数被称为“傅里叶谱”；|F（u）|2=R2（u）+I2（u）被称为“能量谱”。

图5-1为某一随时间变化的函数f（t）以及经傅里叶变换后的傅里叶谱|F（u）|。

二、图像的傅里叶变换

如第一章所述，平面图像是占据二维空间的函数，可将其描述为S=f（x，y）。其中的（x，y）为平面坐标，S为图像函数值（可以是密度、色度或灰度数值）。

对平面图像进行的傅里叶变换称为“二维傅里叶变换”，表述为

　　（5-4）

其反变换为

　　（5-5）

式中，u，v为空间频率变量。

对应地有

作为一个简单的例子，如图5-2（a）所示的“方盒子形”图像函数f（x，y）=A，其中0≤x≤X，0≤y≤Y，A<∞，对其进行二维傅里叶变换，得到如图5-2（b）所示的频谱函数|F（u，v）|。

相应的傅里叶谱为

三、离散傅里叶变换

如果以Δt为间隔，把连续函数f（t）离散化成一个N个数据组成的序列（t=0，1，2，…，N-1）：

f（t）=f（t0+tΔt）

则其傅里叶变换和反变换可以表示为如下离散形式。

　　（5-6）

　　（5-7）

其积分求和的增量。

离散傅里叶变换的求和式可以写成其他形式，但只要两式系数的乘积等于即可；也即系数可以是而单独出现在式（5-6）或者式（5-7）中，也可以按的形式同时出现在上述两式中。

针对二维的情况，如果平面图像已分割成像素阵列，由M列、N行像素构成（M和N为整数，Δx=1/M，Δy=1/N），则二维傅里叶变换对的离散形式为

　　（5-8）

　　（5-9）

积分求和的频率增量。

类似地，上述两式中的系数既可以单独出现在式（5-8）或者式（5-9）中，也可以按的形式同时出现在上述两式中。

离散傅里叶变换具有多种性质，如可分离、线性叠加、共轭对称、旋转、尺度变换、空间和频率平移、卷积、相关等。读者可以参阅相关书籍了解详细内容。

对离散数字图像进行傅里叶变换，其计算量较大。1965年，由库利（Cooley）和图基（Tukey）发明了快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）后，大大降低了其计算量，缩短了处理时间，傅里叶变换才得以较广泛地实用。

图5-3和图5-4给出了两幅数字图像及其傅里叶谱。在图中频域坐标的中心位置，其空间频率为[0，0]，属于“直流成分”，而距离该零点越远，所对应的空间频率越高。

比较两幅图像可以看出，两幅图像在频率域内的特性差异明显。

图5-3（a）包含丰富的细节信息，在图5-3（b）所示的傅里叶频谱函数中，距中心点较远的高频区域内数值较高，最远端角点处的值大约为3；而图5-4（a）的图像灰度变化较为柔和，而在5-4（b）的傅里叶频谱中，距中心点较近的低频区域（坐标轴上及附近）的函数值较高，而远端的高频区域内的数值较低，最远端角点处的值大约为2.5。