第三节　采样定理

一、对模拟信号的采样

在模拟信号转换成数字信号的过程中，需要进行三个步骤，即采样（Sampling）、量化（Quantizing）和编码（Encoding）。

采样是指按照某种时间或空间间隔，采集模拟信号的过程。

随时间变化的一维模拟信号，采样是按照某种时间间隔采集模拟信号，而随空间位置变化的二维图像模拟信号，采样过程需要按照某种空间位置间隔获取模拟信号。图5-6是对一维时间信号u=f（t）和二维图像信号v=g（x，y）进行采样的图示，图中的虚线为采样时刻（t）或位置（x，y），小圆圈标示采样点处的模拟信号值。

二、采样定理讲解

在信号处理领域中，采样定理具有十分重要的作用。对模拟信号数字化中的采样过程具有明确的指导意义。

对模拟信号进行采集时，采样的时间间隔或空间间隔越小（采样频率越高），从原始模拟信号中捕捉到细微变化的能力就越强，因错过而遗漏信号微小变化的可能性就越少。从图5-6（a）可以看出，由于采样频率低，信号的一些迅激的突变没有被采集到。

由此，问题的关键在于——应该以怎样的采样频率采集模拟信号，才能用采样信号不失真地恢复原始信号。

采样定理给出的答案是采样频率应大于原信号最高频率的2倍。若原信号的最高频率为fMAX，则采样频率fS>2fMAX。这一临界采样频率2fMAX亦称为“奈奎斯特频率”（Nyquist frequency）。如果采样频率低于原信号最高频率的2倍，则恢复的信号中会包含原信号中不存在的低频成分，称为“混淆”，它会对信号造成干扰。

采用傅里叶变换可以获得信号的频谱，并从中得知信号最高频率的数值。图5-7给出了一个时间信号f（t）及其傅里叶谱[图5-7（b）]，从中可以看到，信号的最高有效峰值频率为120Hz（超过此频率的频谱成分能量很小）。采用高于240Hz的采样频率对该信号进行采样，即可由采样得到的离散信号还原原始信号。

在印前图像处理采集、处理和传递过程中，图像频谱成分的传递受到多种因素的影响。例如，原稿的扫描分辨率设置、图像扫描设备和数码摄影设备的分辨能力、加网的类型和参数设置（调幅加网线数、调频网点尺寸等）、网点在记录输出、晒版、印刷等传递过程中的完整准确性等。各种图像处理算法对图像频谱也有相当的影响。

在图像的印刷传递过程中，依据原稿特点和采样定理进行适当的分辨率设置是很重要的，因为这一步骤决定了从原稿上采集到的原始图像频谱状况。在此，采样定理的指导意义是很明显的。

复习思考题

1.若x∈[0，1]，y∈[0，1]，对图像函数z=2-x-y进行傅里叶变换，给出频谱函数|F（u，v）|。

2.在某种编程环境下，编写1个程序，对下列8×5像素群体进行离散余弦变换，给出变换结果。

3.定性说明如下两幅图像在频谱上的差异。