2.3　极限的应用

用极限概念分析问题和解决问题的一般步骤可概括为：对于被考查的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果.

学习极限概念，我们来解决前面提出的生活问题和专业问题.

①［古代问题］战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”怎样用极限的定义解释这句话？

分析：第1天截下的杖长为，第2天截下的杖长为，第n天截下的杖长为，无限继续下去，

经过很久，所截下的杖长趋近于1，但不等于1，即仍有剩余.不竭，不尽的意思.

②［专业问题］某企业获投资50万元，该企业将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品价值的75%的贷款，该企业将此贷款再进行投资，并将再投资作为抵押品又向银行贷款，仍得到相当于抵押品的75%的贷款，企业又将此贷款再进行投资，这样贷款—投资—再贷款—再投资，如此反复进行扩大再生产，问该企业共计可获投资多少万元？

分析：设企业获投资本金为A，贷款额占抵押品价值的百分比为r（0<r<1），第n投资或再投资（贷款）额为an，n次投资与再投资的资金总和为Sn，投资与再投资的资金总和为S.

本章小结

本章在复习函数的基础上，讨论函数的极限及应用.要求理解极限的概念，掌握函数极限的运算法则，掌握两个重要极限，会用极限的思想解释古代问题，会用极限的求解方法解决一些简单的生活问题和专业问题.

基础训练

一、单项选择题

1.当x→∞时，下列函数极限不存在的是（　　）.

A.sinx

B.

C.

D.arctanx

2.，则k为（　　）.

A.

B.1

C.3

D.

3.（　　）.

A.e2

B.e-2

C.-e-2

D.-e2

4.=（　　）.

A.0

B.1

C.不存在

D.∞

二、填空题

1.　　　　　　.

2.　　　　　　.

3.若，则a=　　　　　　.

三、计算题

1.求下列函数的极限

（1）

（2）

（3）

（4）

2.设，求.

四、应用题

1.在边长为a的等边三角形里，连接各边中点做一个内接等边三角形，如此继续下去，求所有这些等边三角形的面积之和.

2.对于一类n级的混联电路或“无穷多”个支路的这类电路，如何求其总电阻呢？

［相关阅读］

Koch雪花曲线

Koch雪花曲线是一个数学曲线，同时也是早期被描述的一种分形曲线，它由瑞典数学家海里格·冯·科赫（Helge von Koch）在1904年发表的一篇题为“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”的论文中提出，其中有一种Koch曲线像雪花一样，被称为科赫（Koch）雪花［或科赫（Koch）星］.

科赫雪花曲线的形成：

设给定一个边长为1的正三角形，我们进行以下操作：①三等分一边线段；②用一个等边三角形的两边替代第一步划分三等分的中间部分；在每一边线段，重复以上①、②；每作一次①、②称为一步，无限步重复的极限结果称为科赫雪花曲线.求科赫雪花曲线的周长及科赫雪花曲线所围成的面积.

科赫雪花曲线周长求法：

由于最初三角形的边长为1，记第n步所得曲线的长度为ln，则有

即科赫雪花曲线的周长为无限大.

科赫雪花曲线面积求法：

最初三角形的边长为1，设第n步的图形面积为Sn，则有S0=×1×1sin=