1.1　函数

函数一词，是微积分的奠基人——德国哲学家兼数学家莱布尼茨首先采用的.1837年，德国数学家狄利克雷抽象出了人们易于接受且较为合理的函数概念.

1.1.1　函数及其性质

（1）函数的概念

【引例1.1】　程控铣床加工一机翼断面的下轮廓线，如图1-1所示，若工艺要求铣刀沿x方向每次只能移动0.1单位，x∈［0，16］，根据这条曲线，就能求出当x坐标每改变0.1个单位时的y坐标.变量x和y这种对应关系，即是函数概念的实质.

定义1.1　设x和y是两个变量，D是一个非空实数集，如果对于数集D中的每一个数x按照一定的对应法则f都有唯一确定的实数y与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作y=f（x），x∈D.其中D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量.

如果对于确定的x0∈D，通过对应法则f，有唯一确定的实数y0与之对应，则称y0为y=f（x）在x0处的函数值，记作y0=f（x0）.集合Y={y=f（x），x∈D}称为函数的值域.

（2）函数的表示法

①解析法：用一个等式来表示两个变量的函数关系.如一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）.

②列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系.如三角函数表.

③图像法：用函数图像表示两个变量之间的关系.如二次函数图像.

（3）函数的两个要素

函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.函数的对应法则通常由函数的解析式给出，函数的值域由定义域和对应法则确定.函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体.在实际问题中，函数的定义域要由问题的实际意义确定.在求函数的定义域时，应注意：分式函数的分母不能为零；偶次根式的被开方式必须大于等于零；对数函数的真数必须大于零；反正弦函数与反余弦函数的定义域为［-1，1］等，如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集.

两个函数只有当定义域和对应法则都相同时，才是同一个函数.例如，函数y=与y=是相同的函数；而函数f（x）=lgx2与g（x）=2lgx因定义域不同而不是相同函数.

【例1.1.1】　求函数的定义域.

解：当且仅当1-x>0且x+4≥0时，f（x）才有意义，即-4≤x<1，所以函数的定义域为［-4，1）.

【例1.1.2】　已知f（x）=x3+1，求f（a-1）及.

解：f（a-1）=（a-1）3+1=a3-3a2+3a；.

【例1.1.3】　已知f（x+1）=x2-x+1，求f（x）.

解：令x+1=t，则x=t-1，从而f（t）=（t-1）2-（t-1）+1=t2-3t+3.

所以f（x）=x2-3x+3.

（4）几种常见函数简介

1）分段函数

有些函数在定义域的不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫做分段函数.

在电子技术中常遇到的矩形脉冲如图1-2所示.

【例1.1.4】　设

解：f（3）=1，f（0）=0，f（-5）=-1.

2）隐函数

通常将形如y=f（x）的函数称为显函数；由二元方程F（x，y）=0确定的函数称为隐函数.有些隐函数可以通过一定的运算，把它转化为显函数，例如x2+y2=4可以化为显函数；但有些隐函数却不能化为显函数，例如ex+xy-ey=0.

3）参数方程确定的函数

由参数方程来表示x与y之间的函数关系，称为由参数方程确定的函数.例如，由参数方程，可以确定函数.

4）反函数

设y=f（x）为定义在数集D上的x的函数，其值域为M.若对于数集M中的每一个数y，数集D中都有唯一的数x，使得f（x）=y，则称由此确定的函数为y=f（x）的反函数，记为y=f-1（x），其定义域为M，值域为D.

注：只有严格单调的函数才有反函数.

【例1.1.5】　求函数的反函数，并确定反函数的定义域.

解：由得ex=2y+3，即x=ln（2y+3）.将上式中的x、y互换，因此得到函数的反函数为y=ln（2x+3），反函数的定义域为.

（5）函数的几种特性

1）奇偶性

设函数y=f（x）的定义域D关于原点对称，对任意x∈D：①若f（-x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数；②若f（-x）=-f（x），则称y=f（x）为奇函数；③不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.由定义可知奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.

【例1.1.6】　判断下列函数的奇偶性：

①f（x）=x（x+sinx）；②.

解：①f（-x）=（-x）［（-x）+sin（-x）］=-x（-x-sinx）=x（x+sinx）=f（x），所以f（x）=x（x+sinx）是偶函数.

②因为，所以是奇函数.

③因为f（-x）=（-x）3+2=-x3+2，它既不等于f（x），也不等于-f（x），所以y=x3+2为非奇非偶函数.

2）周期性

设T为一个不为零的常数，如果函数y=f（x）对于任意x∈D，都有x+T∈D，且f（T+x）=f（x），则称y=f（x）是周期函数.使上述关系式成立的最小正数T，称为函数y=f（x）的周期.例如函数y=sinx和y=cosx都是以2π为周期的周期函数.

3）单调性

设函数y=f（x）在区间（a，b）内有定义，对于任意a<x1<x2<b：

①若f（x1）<f（x2），则称y=f（x）在区间（a，b）内为单调递增函数，这时（a，b）为y=f（x）的单调递增区间.

②若f（x1）>f（x2），则称y=f（x）在区间（a，b）内为单调递减函数，这时（a，b）为y=f（x）的单调递减区间.

例如函数y=x2在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数.

4）有界性

设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在一个正数M，使得对任意x∈D，恒有≤M成立，则称y=f（x）在D上有界；如果不存在这样的正数，则称y=f（x）在D上无界.例如，函数y=sinx在其定义域（-∞，+∞）上是有界的；y=lnx在定义域（0，+∞）上是无界的.

1.1.2　初等函数

（1）基本初等函数

我们称下列6种函数为基本初等函数.

①常数函数：y=c，x∈（-∞，+∞）（其中c是已知常数）.

②幂函数：y=xα，x∈（0，+∞）（α为任意实数）.

③指数函数：y=ax，x∈（-∞，+∞）（a>0且a≠1）.

④对数函数：y=logax，x∈（0，+∞）（a>0且a≠1）.

⑤三角函数：正弦函数y=sinx，x∈（-∞，+∞）；

余弦函数y=cosx，x∈（-∞，+∞）；

正切函数；

余切函数y=cotx，x≠kπ，k∈Z；

正割函数（不做详细讨论）；

余割函数（不做详细讨论）.

⑥反三角函数：反正弦函数y=arcsinx，x∈［-1，1］；

反余弦函数y=arccosx，x∈［-1，1］；

反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，+∞）；

反余切函数y=arccotx，x∈（-∞，+∞）.

它们的性质和图像在中学数学里已经学过，在此不再赘述（详见附录一）.

（2）复合函数

设函数y=f（u）的定义域与函数u=φ（x）的值域的交集非空.则称函数y=f［φ（x）］是由y=f（u）与u=φ（x）复合而成的复合函数，其中u称为中间变量.

【例1.1.7】　求函数y=与u=1-x2的复合函数.

解：将u=1-x2代入到y=得复合函数.

不是任何两个函数都能复合成一个复合函数.如y=arcsinu与u=2+x2就不能复合成一个复合函数.

利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数.

【例1.1.8】　指出复合函数y=sin2（x+1）是由哪些函数复合成的.

解：y=sin2（x+1）是由y=u2，u=sinv，v=x+1复合而成.

（3）初等函数

定义1.2　由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，并能用一个解析式表示的函数，称为初等函数.

例如：等都是初等函数.而分段函数不是初等函数.

1.1.3　函数关系的建立

构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质.下面举例介绍运用函数思想来解决实际问题.

【例1.1.9】　某种旅行帽的沿接有两个塑料帽带，其中一个塑料帽带上有7个等距的小圆柱体扣，另一个帽带上扎有7个等距的扣眼，用第一个扣分别去扣不同扣眼所测得帽圈直径的有关数据（单位：cm）如表1-1所示.

①求帽圈直径y与扣眼号数x之间的函数关系式；

②小明的头围约为68.94cm，他将第一个扣扣到第4号扣眼，你认为松紧合适吗？

解：①读者可根据统计数据，画出它们相应的散点图.可以看出与以前所学过的一次函数的图像（直线）较为接近.由此确定近似的函数关系.设一次函数关系式y=kx+b（k≠0），依题意可得

解得，所以函数关系式为y=-0.32x+23.24.

②当x=4时，y=-0.32×4+23.24=21.96，c=πy=π×21.96≈68.95，而68.95-68.94=0.01（cm），因为0.01cm很小，所以将第一扣扣到第4扣时合适.

学习思考1.1

1.分段函数的定义域是什么？

2.任意两个函数都可以复合成一个复合函数吗？

同步训练1.1

1.下列各题中，函数f（x）与g（x）是否是同一个函数，为什么？

（1）

（2）

2.求下列函数的定义域

（1）

（2）

3.判断下列函数的奇偶性

（1）

（2）

4.下列函数中，哪些是周期函数？并指出其周期

（1）y=sin2x

（2）

（3）y=cosπx

（4）y=tan4x

5.设函数.

6.求由函数y=lgu，u=v2，v=3+t复合而成的复合函数.

7.指出下列各函数的复合过程

（1）

（2）

（3）

（4）

8.已知一有盖的圆柱形铁桶容积为V，试建立圆柱形铁桶的表面积S与底面半径r之间的函数关系式.

9.某厂生产某种产品2000吨，定价为180元/吨，销售量在不超过1200吨时，按原价出售，超过1200吨时，超过部分按8折出售，试求销售收入与销售量之间的函数关系.