§1.6　极限存在准则及两个重要极限

1.6.1　极限存在准则

1.夹逼准则

准则1　如果数列{an}，{bn}，{cn}满足下列条件：

（1）自某项起，有bn≤an≤cn；

（2

那么数列{an}极限存在，且 =a.

这一准则可以这样理解：由知，当n→∞时，bn，cn无限接近于a，而bn≤an≤cn，因此an也无限接近于a.

上述数列极限的夹逼准则可以推广到函数的极限.

准则2　如果函数f（x），g（x），h（x）满足下列条件：

（1）在x0的某去心邻域内，有g（x）≤f（x）≤h（x）；

（2）那么存在，且极限等于A.

注　准则2对其他类型的极限也有类似的结论.准则2的几何解释如图1-14所示.

例1　求

解　由于

而

由准则1知，.

2.单调有界收敛准则

首先介绍单调数列的定义.

定义　若数列{an}满足条件

an≤an+1（或an≥an+1），n∈Z+；

则称数列{an}是单调递增的（或单调递减的），单调递增和单调递减的数列统称为单调数列.

准则3　单调有界数列必有极限.

从数轴上直观分析，准则3的结论是显然的.因为an作为数轴上的动点，若{an}是单调递增数列，则动点an只能向右移动，所以只有两种可能情形：

（1）向右无限远离原点；

（2）向右无限趋近于某个定点，也就是说数列{an}趋于一个定值.

由于{an}是一个有界数列，即存在正数M，使得对任意n∈Z+满足an∈[-M，M]，所以第一种情况是不成立的，从而表明这个数列趋于一个定值，也就是说数列{an}的极限存在，并且数列极限的绝对值不超过M.

从上面的分析不难得到下面的结论：单调递增（或单调递减）有上界（或下界）数列必有极限.

例2　设数列a1=

证　数列{an}显然是单调递增的.因为a1=，不妨设an-1<2，则

即数列{an}是单调递增的有界数列.

由准则3知存在，设，对an=两侧同时取极限得，a2=2+a，即a=2或a=-1，由an>0知，a=-1舍去，所以=2.