1.3.2　极限的运算法则

以下运算法则都可以运用极限定义解释，方法均类似，这里不再叙述.

定理若两个极限和都存在，则：

特别地，当g（x）=c时，（其中c为常数）；

当g（x）=f（x）时，；

一般地，如果存在，且n是正整数，则.

发现：定理中的（1），（2）可以推广到有限个函数的情形.

利用极限的基本性质和运算法则可以解决许多极限问题，下面请看一些具体的例子.

例1　计算极限.

解　由极限运算法则，得

例2　计算极限.

解　当x→1时，分子、分母的极限都是零，不满足极限运算法则的条件，且函数f（x）在点x0处的极限与函数在点x0处是否有定义无关，故可先通过分解因式化简后求极限，得

发现：以下解法是错误的

因为分母的极限为零，不能直接运用极限法则，且此题分子、分母同时为零，一般称此类极限为不定式或未定式 型，它的解法要依据题的特点不同而不同，请看例3.

例3　计算极限.

解　这是未定式，例2的方法不适用了.它可以通过“分子有理化”化简，得

不定式或未定式除了型，还有型，请看例4

例4　计算极限.

解　当x→∞时，分子、分母的极限都是不存在，但都共同趋近无穷大，不满足极限运算法则的条件，不能直接运用极限法则，对于这类型未定式，可以将分子、分母同除以x3，再用极限法则求得.

发现： ，其特点：x→∞； ；a0≠0，b0≠0，n，m为正整数，则

可直接运用公式填空：

（1）=（　）；　（2）若，则C=（　）；

（3）=（　）；　（4）若，则k=（　）.

根据公式推得（1）0；（2）2；（3）∞；（4）10.

例5　计算极限.

解　当x→-1时→∞，→∞，不能直接运用极限法则，对于此类极限∞-∞类型，需要先进行通分，再根据情况进行极限运算.

例6　计算极限.

解　此极限是先求数列前n项和，后再求当n→∞时的极限，所以

综上所述，运用极限四则运算法则时，必须注意只有各项极限存在（分母不为零）才能运用法则，否则必须先对函数进行恒等变形，如约分、通分、有理化、变量代换等，在具备了运用法则条件下，再求极限.