1.5.2　无穷小量的比较

有限个无穷小的和、差、积仍然是无穷小，那么两个无穷小的商是否仍是无穷小？

考察当x→0时，无穷小x，x2，2x2，x3的比会出现哪几种情况.通过比较

发现比的极限不同，反映了无穷小趋于零的速度有快有慢.为了比较无穷小趋于零的速度快慢，给出如下无穷小阶的概念.

定义2　设limα（x）=0，limβ（x）=0且α（x）≠0（在自变量同一趋近过程中）.

（1）如果，则称β是比α高阶的无穷小，记作β=ο（α）；

（2）如果，则称β是比α低阶的无穷小；

（3）如果，则称β与α是同阶无穷小，特别地，时，称β与α是等价无穷小，记作α～β.

例2　比较下列无穷小的阶.

（1）当x→0时，sinx与tanx；　　（2）当x→1时，（x-1）2与x2-1.

解　（1）因为，所以当x→0时，sinx与tanx是等价无穷小.

（2）因为，所以当x→1时，（x-1）2是比x2-1高阶的无穷小，记作（x-1）2=ο（x2-1）.

定理2　在自变量同一趋近过程中，

（1）如果α～X，β～Y，且存在，则；

（2）如果α～X，β～Y，且存在，则；

（3）如果α～β，且lim（β·Z）存在，则lim（α·Z）=lim（β·Z）.

定理表明，在乘积或商的极限中等价无穷小因子可以互相替代.常见的等价无穷小有：

当x→0时，sinx～x，tanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x，arcsinx～x，arctanx～x，.

例3　利用等价无穷小的替换求下列极限.

解　（1）因为当x→0时，tan2x～2x，sin5x～5x，所以

（2）因为当x→1时，sin（x-1）～x-1，lnx=ln[1+（x-1）]～x-1，所以

（3）因为tanx-sinx=tanx（1-cosx），当x→0时，tanx～x，，ex-1～x，所以

发现：在计算上面例子中极限（3）时，容易出现分子tanx-sinx直接等价成x-x=0，以至于造成错误解法：