1.6.1　函数连续的概念

函数连续反映在几何上就是一条连续不断的曲线，如图1-23所示；函数在某点不连续反映在几何上就是在某点断开的一条曲线，如图1-24所示.

分别观察函数f（x）和g（x）在点x0的特点，给出如下定义.

定义1　设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果

那么就称函数y=f（x）在点x0处连续，并称x0是y=f（x）的连续点.

发现 ，即为当自变量x→x0时，f（x）→f（x0），可表示为

Δx=x-x0→0时，Δy=f（x）-f（x0）→0，

即

由连续的定义可以看出，连续是通过极限来定义的，在极限的定义中我们曾定义单侧极限，即左极限和右极限，所以相应地也给出单侧连续定义，即左连续及右连续.

定义2　如果

那么称函数y=f（x）在点x0处左连续或右连续.左、右连续也可以用增量的形式表示：

定理1　函数在一点x0处连续的充分必要条件是在点x0处既左连续又右连续，即

例1　讨论函数在x=0处的连续性.

解　因为函数定义域为R，0∈R，且f（0）=0，又无穷小与有界函数乘积仍是无穷小，得

根据定义1，函数f（x）在x=0处是连续的.

例2　证明函数y=sinx在其定义域内连续.

证明　任取x0∈（-∞，+∞），只需证明函数在x0处连续.由和差化积公式得

因为当Δx→0时，，是有界函数，所以

所以函数y=sinx在点x0处连续，由于x0是区间（-∞，+∞）内任取的，故y=sinx在其定义域（-∞，+∞）内连续.

类似地可以证明y=cosx在其定义域（-∞，+∞）内是连续的.

发现：，

由例2不难发现，函数在区间的连续概念如下：

定义3　如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内的每一点都连续，则称函数y=f（x）在开区间（a，b）内连续，并称函数y=f（x）是开区间（a，b）内的连续函数.

如果函数f（x）在（a，b）内连续，且在左端点x=a处右连续，右端点x=b处左连续，则称函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续.

若函数f（x）在其定义域内连续，则称函数f（x）为连续函数.

例3　讨论函数的连续性.

解　因为函数定义域为R，0∈R，当x>0时，任取x0∈（0，+∞），

故f（x）在区间（0，+∞）内连续.

当x<0时，任取x0∈（-∞，0），因为，故f（x）在区间（-∞，0）内连续.

又因为且，得，所以函数f（x）在点x=0处连续.

综上所述，函数f（x）是连续函数.

发现：对于分段函数的连续性，除了讨论每一分段的连续性外，还必须讨论定义区间分界点处的连续性.