第8章　广义积分

一、判断题

1f（x）在[0，＋∞）上非负连续，n是正整数，若存在，则收敛．[重庆大学研]

【答案】对

【解析】由存在知，对任意的ε＞0，存在N∈N，当m＞n＞N时，有由于f（x）非负，取A=N+1，则当时，有，因此本题正确．

二、解答题

1设f（x）是[1，+∞）上的可微函数，且当时f（x）单调下降趋于零．若积分收敛，证明：积分收敛．[北京大学、哈尔滨工业大学研]

证明：当x≥1时，f（x）≥0，否则，存在c≥1，f（c）＜0，那么，这与矛盾．

再证事实上由积分中值定理，对充分大的A，有

　①

①式左端当时，极限为零．故此即

　②

现对任何A₁，A₂＞1，考察积分

　③

由②及的收敛性，则对，当A₁，A₂＞A时，有

从而由③有由柯西准则知收敛．

2讨论反常积分的敛散性．[复旦大学研]

解：当p≥1时，对一切，有，而发散，故发散，从而发散．

当p＜1时，对一切，有而收敛，所以收敛，又p＞0，存在，故收敛．

∴当0＜p＜1时，收敛．

3设m、n为自然数，求[北京师范大学研]

解：记则

注意到，所以

4已知求（α＞β＞0）．[中山大学研]

解：原式

5求[南京农业大学研]

解：做变量替换，则

6已知积分，计算[上海理工大学研]

解：由分部积分知

7设f（x）在[a，＋∞）上连续，且收敛，证明：存在，满足条件

[浙江大学研]

证明：因为收敛，所以对任意的ε＞0，存在G＞0，当时，有．考虑利用积分中值定理有，令，易见，且当n＞G时，

8f（x）在任何有限区间上Riemann可积，且收敛，

证明：

[浙江大学研]

证明：因为收敛，所以对任意的ε＞0，存在G＞0，使得

，

而f（x）在任何有限区间上Riemann可积，所以

对上述的ε＞0，存在N＞0，当n＞N时成立．故对ε＞0，存在N＞0，当n＞N时，有

所以

9讨论的收敛性．[复旦大学研]

解：由于

所以当0＜p＜1时，收敛；当p≥1时，发散．同理由于

所以当0＜q＜1时，收敛；当q≥1时，发散．故当0＜p＜1、0＜q＜1时收敛，其他情况都发散．

10讨论反常积分的敛散性，其中p、q、r均大于零．[复旦大学研]

解：

由于从而，故当0＜r＜1时，收敛；当r≥1时，发散．在0＜r＜1的前提下，易知当且仅当p＞1或p=1且q＞1时收敛．故当且仅当

0＜r＜1且p＞1或0＜r＜1且p=1且q＞1时，收敛．