第二节 投资组合理论

前面所讨论的是单个资产的风险与收益的衡量。事实上，大多数投资者持有的是一些资产的投资组合（portfolio）。由一组资产组成的投资称为投资组合（investment portfolio），投资组合能减小全部资产的总风险，即分散风险。因此，有必要考察投资组合的风险与收益。

一、投资组合的预期收益率

还是采用例4-1。假如将钱平均投入到A、B两种股票上，投资组合的权重显然是50%和50%。这个组合的预期收益率是多少呢？

假如经济实际进入衰退期，则有一半的钱将获得-20%的收益，另一半的钱获得30%的收益，即组合收益率是

Rp1=0.5×(-20%)+0.5×30%=5%

经济繁荣时组合的收益率则为

Rp2=0.5×70%+0.5×10%=40%

如果经济衰退期和经济繁荣时的概率各为50%，则投资组合的预期收益为

E(Rp)=0.5×Rp1+0.5×Rp2=22.5%

也可以通过投资于股票A和B的预期收益来计算，得投资组合的预期收益率为

由此，给出投资组合的预期收益率为

其中，E(Rp)为投资组合的预期收益率；wi为组合中单项资产所占的比重；为组合中单项资产的预期收益率。

投资组合的收益率是单个资产的收益率与其投资比重计算的加权平均数。

二、投资组合的风险

投资组合收益的风险仍用投资组合的标准差表示。但投资组合的方差或标准差并不是单个资产方差或标准差的简单加权平均数。投资组合的风险不仅取决于组合内各资产的风险，而且还取决于各资产之间的相关联程度。

如果是两种资产的投资组合，则其组合的方差为

其中，w1和w2分别为资产1和资产2在组合投资中所占的比例；σ1和σ2分别为两种资产的标准差；ρ为两种资产收益之间的相关系数。

根据式（4-7），可得到两种资产投资组合的标准差，即投资组合的风险为

【例4-2】假设要投资A、B两种股票，两种股票的预期收益率和标准差如表4-3所示。假设这两种股票在投资组合中所占的比例分别为40%和60%，两种股票收益的相关系数为0.5。计算：预期的投资组合收益率及投资组合的标准差。

解　根据式（4-6），投资组合的预期收益率为

E(Rp)=w1RA+w2RB=0.4×12%+0.6×16%=14.4%

根据式（4-7），投资组合的方差为

于是，投资组合的标准差（即风险）为

可见，由于投资组合的预期收益是两种股票预期收益的加权平均，故它在两种股票的预期收益之间。而投资组合的标准差也在两种股票的标准差之间，说明了投资组合具有降低风险的作用。

由式（4-8）可知，投资组合的标准差与两种资产收益之间的相关系数ρ有关。当相关系数ρ=+1时，投资组合的标准差就是各个资产收益的标准差的加权平均。当相关系数ρ<1时，投资组合的方差和标准差都会随之下降。也就是说，当有两种资产组成投资组合时，只要二者收益的相关系数ρ<1，投资组合的标准差就小于这两种资产各自标准差的加权平均数。此时，投资组合的多元化效应就会发生作用。

顺便指出，两种资产收益之间的协方差可用下式表示：

协方差反映了两种资产收益之间的关联程度。进而，两种资产收益之间的相关系数可用下式表示：

【例4-3】假设经济不景气、正常、景气的概率各为1/3。某人按一定的比例进行股票和债券的投资组合，股票和债券的预期收益率、方差、标准差如表4-4所示。计算股票和债券预期收益的协方差和相关系数。

解　根据式（4-9），股票和债券预期收益的协方差为

由式（4-10）可得，股票和债券预期收益的相关系数

ρ=Cov(Ri, Rj)/(σiσj)=-0.011667/(14.3%×8.16%)=-0.9998

三、投资组合的有效集

这里只介绍两种资产组合的投资比例与有效集。

【例4-4】假设证券A的预期收益率是10%，标准差是12%。证券B的预期收益率是18%，标准差是20%。假设各50%的比例投资于两种证券，则该投资组合的预期收益率为

Rp=10%×0.5+18%×0.5=14%

如果两种证券的相关系数等于1，没有任何风险抵消作用，在各50%的投资比例下，由式（4-8）可得：该组合的标准差等于两种证券各自标准差的算术平均数，即16%。

如果两种证券之间的相关系数小于1，现假设为0.2，则由式（4-8）可得投资组合的标准差为

σp(0.52×0.122+2×0.5×0.5×0.2×0.12×0.2+0.52×0.202)1/2=12.65%

如果两种证券投资的比例发生变化，投资组合的预期收益率和标准差也将发生变化。对于不同比例的投资组合，利用式（4-6）和式（4-8）就可以计算出投资组合的预期收益率与标准差。表4-5给出了6组不同的股票和债券的投资比例，以及相应的投资组合的预期收益率和标准差。

把这些不同比例的投资组合的预期收益率和标准差用散点图描述出来，可得到图4-1。从中能看到投资组合的预期收益与标准差随着投资比例的变化而变化的“轨迹”。组合6表明全部投资于证券B，组合1表明全部投资于证券A。组合2表明80%投资于证券A、20%投资于证券B时具有最小方差。

在例4-3中，已经算出股票与债权收益的相关系数为ρ=-0.9998。根据式（4-6）和式（4-8），可算出投资组合的预期收益率与标准差。表4-6和图4-2给出了各种比例的股票与债券所对应的投资组合的预期收益率和风险。

通过上述例子还可以发现，投资组合的预期收益和标准差与组合资产收益的相关系数ρ有关。图4-3表示的是相关系数取不同值时，投资组合的预期收益与标准差随投资比例的变化而变化的各种组合。每一个相关系数取值都对应一条曲线。当ρ=+1时，对应的是A、B两点的直线。图中虽画出了几条曲线和一条直线，但实际上它们并不会同时出现。给定相关系数ρ，只对应一条曲线。

根据人们对风险的态度，通常情况下，假设人们是风险规避者。因此，有效的投资组合（efficient portfolio）意味着：对于给定的风险水平，能提供最高的预期收益；或者，对于给定的预期收益水平，能提供最小的风险。

图4-4表示的曲线，是一般情况下两种资产所构成的各种可能的投资组合，它是一个面临投资的可行集或机会集。需指出的是，图中E点是具有最小方差的组合；曲线段ECFB是一个弓形曲线，它是真正的可行集，称为“有效前沿”（efficient frontier）。在图形内部任一点D，所对应的组合不是有效的组合。因为相对于曲线上的C点，D点与C点具有相同的预期收益，但D点的风险（标准差）却大于C点；同样，相对于曲线上的F点，D点与F点具有相同的风险（标准差），但D点的预期收益却小于F点。而E点以下的EA段，也不是有效的可行集。因为这段曲线对应的是风险越大而收益越低的情形，显然不是理性投资者所愿意选择的。

综上所述，两种资产投资组合的有效集是图4-4中的有效前沿ECFB这段曲线。实际上对于多种资产的组合，也有类似的结论：多种资产投资组合的有效集是有效前沿EB曲线，它包含了多种资产的各种组合。

四、多种资产投资组合的方差及标准差

（一）多种资产投资组合的方差

假设由n种资产进行投资组合，则多种资产组合的方差为

其中，wi、wj分别为第i种资产和第j种资产所占的比例；σij=Cov(Ri, Rj)为第i种资产和第j种资产收益之间的协方差。

可以用矩阵形式表示多种资产投资组合方差的计算。由于协方差具有对称性，即σij=σji，故它是一个对角型矩阵，如表4-7所示。

从表4-7中可见，矩阵对角线上的各项包括了每种资产收益的方差，而其他各项包括了各个资产收益之间的协方差。显然，非对角线上的项数，即组合中每一对资产收益的协方差的个数，远远超过构成投资组合的资产的个数（对角线上的个数）。因此，随着投资组合中包含资产数量的增加，单个资产的方差对投资组合总体方差的影响程度越来越小；而资产收益之间的协方差的影响程度越来越大。当投资组合中资产的数目达到足够大时，其单个资产方差的影响程度可以忽略不计。现举例如下。

设投资组合中包含N种资产，每种资产在投资组合中所占份额相同，并假设每种资产的方差都是σ2，并以代表平均的协方差，则式（4-11）可以用以下简化形式来表示：

从式（4-12）可知，当N → ∞时，1/N → 0，这时。这意味着，当资产的个数不断增加时，各种资产的方差将完全消失。但无论如何，各对资产的平均协方差仍然存在。也就是说，通过多种资产的投资组合，可以使隐含在单个资产中的风险得以分散，从而降低投资组合总体的风险水平，这就是通常所说的“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”的原理，即投资多元化的作用。但是，由于各个资产收益之间的相关性，各对资产的协方差却无法因为投资组合而被分散并消失，即投资组合不能分散和化解全部风险，只能分散和化解部分风险。

（二）系统风险与非系统风险

根据风险的来源，可将风险大致分为两类：系统风险和非系统风险。

（1）系统风险（systematic risk），又称不可分散风险（nondiversifiable risk）或市场风险，是指某些因素对市场上所有资产都带来损失的可能性，它无法通过分散化（多样化）来消除。它是整个经济系统或整个市场所面临的风险，是投资者在持有一个完全分散的投资组合之后仍需要承受的风险。

系统风险主要由经济形势、政治形势的变化引起，将对绝大多数企业或资产的收益和价值产生影响。如宏观经济政策的变化、利率及汇率的调整、国际原油市场价格的变化、国际金融市场的影响、通货膨胀及制度的变化等。当然，系统风险对不同企业、不同资产的影响是不同的，有的企业或资产受系统风险的影响较大，有的则较小，但大多数企业在整体上都将受到影响。

（2）非系统风险（unsystematic risk），又称可分散风险（diversifiable risk）或公司特别风险，是指某些因素对单项资产造成损失的可能性。

由于非系统风险是个别公司或个别资产所特有的，因此又称“特别风险”，它可以通过分散化（多样化）来消除。例如，一家公司的工人罢工、新产品开发失败、陷入债务危机、宣告被接管、公司经营亏损等。这类事件是非预期的、随机发生的，但它只能对这家公司及其股票价格产生影响，而不会对整个市场产生太大的影响。这种风险可以通过多样化投资的办法来进行分散，即投资于一家公司股票可能产生的损失，可以被投资于其他公司股票的收益所弥补或抵消。

这样，资产投资组合的总风险就可以分解成如下两部分，如图4-5所示。

五、最优投资组合的确定

从上述分析和图4-4可知，多项资产构成的投资组合的有效集，是图4-4中的“有效前沿”部分，即曲线段ECFB。但这只给出了有效集，并没有回答什么样的投资组合是最优的。为此，这里引入“无风险资产”（riskless asset或risk-free asset）的概念，来考察最优投资组合问题。

所谓无风险资产，是指其收益的标准差为零的资产，即资产的未来收益无不确定性，其实现的收益等于其预期收益。大多数专家认为，短期国库券、半年以内的银行定期存款等是无风险的投资。

【例4-5】考察风险资产投资组合与无风险资产的投资组合。设资产A是无风险资产，持有的比例为w1，σ1=0。资产B是风险投资组合，持有的比例为w2，σ2≠0。则将风险资产B与无风险资产A进行投资组合的风险为

结论：无风险资产A与风险资产B组合后的风险（标准差）取决于风险资产B的风险及其所占的比例。资产A与资产B的所有可能组合，在无风险资产A和风险资产组合B之间连成一条直线。

如图4-6所示，Rf为无风险资产A的预期收益率。在A点，代表全部投资于无风险资产A；而在D点，代表全部投资于风险资产B。在AD连线上的任何一点C，意味着资产A和资产B的某种组合，即以一定的比例w1投资于无风险资产A，而以比例(1-w1)=w2投资于风险资产B。

而根据前述的多项资产投资组合的有效集，即“有效前沿”，D点实际上不会被选择，而应该选择“有效前沿”上的M点。因此，无风险资产A与风险资产B的最优投资组合，是无风险资产A到有效前沿的切线AM，M为切点。线段AM代表无风险资产A与风险资产B的所有可能的组合。在M点，代表全部投资于风险资产B。在AM连线上的任何一点P，意味着资产A和资产B的某种组合。

【例4-6】假设王某投资1000元，其中35%投资于股票B，65%投资于无风险利率（如存款或买国库券）。各种资产的收益及风险如表4-8所示。

则投资组合的预期收益率为

E(Rp)=0.35×14%+0.65×10%=11.4%

投资组合的风险（标准差）为

σp=w2σ2=0.35×0.20=0.07

显然，相对于风险资产投资（购买股票B），投资组合的预期收益率和风险均变小了。

【例4-7】（接例4-6）假设王某以无风险利率借入200元，加上原有的1000元，总投资为1200元，全部投资于股票B。

则由借款投资于风险资产的投资组合的预期收益率为

E(Rp)=120%×14%+(-20%)×10%=14.8%

投资组合的风险（标准差）为

σp=w2σ2=120%×0.20=0.24

这时，同样相对于风险资产投资（购买股票B），投资组合的预期收益率和风险均变大了。意味着借钱进行股票投资，使得投资风险加大了。

在图4-7中，Rf点表示完全投资于无风险资产；A点表示35%投资于风险资产（股票B），65%投资于无风险资产；M点表示100%投资于风险资产（股票B）；B点则表示不仅将自己的全部资金，而且加上借款全部投资于风险资产（股票B）。

这里涉及了“无风险的借与贷”（borrowing and lending）。对无风险资产的投资实际上是贷出，而借入是对无风险资产的负投资。因此，借钱投资使得对无风险资产的投资比例为负数，即w1< 0。

如图4-8所示，加入无风险资产后，投资组合的有效边界为Rf、M、B连成的直线，该直线表示由无风险资产和风险资产组合M共同构成的各种组合，即最优的投资组合。

通过按照无风险利率进行借入或贷出，任何投资者持有的风险资产的投资组合都将是M点。无论投资者的风险厌恶程度如何，它绝不会选择风险资产有效集（EMF）中的其他点，也不会选择可行集内部的任何点（如C点）。实际上，如果投资者具有较高的风险厌恶程度，他将选择由无风险资产和风险资产构成的组合，即风险规避者会选择Rf和M之间的某一点，越接近Rf的投资组合，风险越小；而如果投资者具有较低的风险厌恶程度，他将选择接近M点的投资组合（如M点的左侧或M点）；而风险喜好者则更愿意按照无风险利率借钱（即直线Rf M上的B点），增加M点（风险资产）的投资。

这里，在M点的风险资产投资，既可以是单项风险资产，如某只股票（或证券），也可以是一组风险资产，如一揽子股票（或证券）。这里还暗含一个假设，即资本市场是完全有效的。如果资本市场是完全有效的，意味着所有投资者具有完全相同的信息和完全相同的预期（关于证券投资的预期收益、方差及协方差），则图4-8对所有投资者来说都相同，因为投资者所面临的信息相同，故所有投资者都将得出相同的有效集。而相同的无风险利率适用于每个投资者，所以所有的投资者都理性地以M点作为其持有的风险资产组合。在M点的这种风险资产组合，通常就是现有的证券按照市场价值加权计算所得到的组合，称为“市场组合”（market portfolio）。在实践中，财务经济学家或财务分析师常使用证券市场的综合指数来代表市场组合，如美国的S&P 500股票指数、我国的上证综合指数和深证成分指数等，进而用综合指数的收益率来代表市场组合的收益率。

六、资本市场线

根据上面的分析，在图4-8中，最优的投资组合是Rf、M、B连成的直线（即Rf到有效前沿EMF的切线），该直线表示由无风险资产的借贷与风险资产组合M共同构成的各种组合，称为资本市场线（Capital Market Line，CML）。其斜率为

其中，RM和Rf分别为市场投资组合的预期收益率和无风险资产收益率；σM为市场投资组合的风险。

(RM–Rf)称为市场风险溢价或风险报酬（market risk premium），而(RM-Rf)/σM则为单位风险溢价。这样，由无风险资产与风险资产组合M所构成的某种组合，如果其风险为σp，则其预期收益率可表示为

也就是说，资本市场线上任意一点都对应一种投资组合，它的预期收益率等于无风险资产收益率加上该投资组合的风险溢价。