第一节 债券估价

债券是企业和政府发行的信用票据，政府债券通常称为国库券，而公司发行的债券通常称为公司债。发行债券是政府和公司资金的一个重要来源。本节主要讨论公司债券。

一、债券的概念

所谓债券是发行者为筹集资金，向债权人发行的、在约定时间支付一定比例的利息，并到期偿还本金的一种有价证券。一般具有以下要素。

（1）债券面值。债券面值是指设定的票面金额，它代表发行人借入并且承诺于未来某一特定日期偿付给债券持有人的金额。

（2）债券的票面利率。债券的票面利率是指债券发行者预计一年内向投资者支付的利息占票面金额的比率。

票面利率不同于实际利率。实际利率通常是指按复利计算的一年期的利率。由于债券的计息方式和支付期不同，可能使用单利或复利计息，利息支付也可能每季度一次、半年一次、一年一次等，从而导致实际利率与票面利率的不同。

（3）债券的到期日。债券的到期日是指偿还本金的日期。债券一般都规定到期日。

二、债券的价值

债券的价值是发行者按照合同规定从现在至到期日所支付的款项的现值。折现率为投资者对该债券的预期收益率，它取决于当前的利率和现金流量的风险水平。

（一）债券估价的基本模型

典型的债券是固定利率、每年计算并支付利息、到期偿还本金。按照这种模式，债券价值计算的基本公式为

其中，PV为债券的价格（现值）；F为到期本金（面值）；I为每期的利息，I=F×票面利率；r为贴现率；n为债券到期的期数。

由于贴现率一方面反映了投资者的机会成本，另一方面反映了持有债券的最低可接受的收益。因此，一般用市场利率（如一年期市场利率、一年期国债利率）或必要收益率（投资者所要求的收益率）作为贴现率。

【例5-1】某公司拟于2014年2月1日发行面值为1000元、票面利率为8%、期限为5年的债券。每年2月1日计算并支付一次利息。市场上同等风险投资的必要收益率为10%。不考虑发行费用，公司的发行价格应为多少？

解　根据式（5-1），每期利息I=1000×8%=80（元）

实际上，债券价格的计算也可以通过Excel直接计算：

（注：这里输出结果为“−”，仅表述资金流向，在Excel中债券发行时为“−”）

由式（5-1）可知，影响债券估价（债券价格）的主要因素有市场利率（或必要收益率，即贴现率）、票面利率、计息期（次数）和到期时间等。

（二）影响债券价值（债券估价）的因素

1．债券价格与市场利率（或必要收益率）

由式（5-1）可知，计算债券价格所用的贴现率即市场利率（必要收益率），对债券价格有重要影响。二者之间的关系是：当市场利率等于债券票面利率时，债券价格就是其面值，即债券按面值出售；当市场利率高于票面利率时，债券价格就低于面值；当市场利率低于票面利率时，债券价格就高于面值。

因此，债券价格与市场利率（或必要收益率）之间呈反向运动。图5-1给出了两种票面利率相同的长期债券和短期债券的价格随利率变化的情况，可见债券价格是随利率的波动而变化的，债券具有利率风险。

如例5-1，假设必要收益率（债券的市场利率）是8%，则债券价格为注2

注2下面的计算中，为第三章介绍的年金现值系数；而为复利现值系数。

如果必要收益率为6%，则该债券的价格为

也可以用Excel直接计算得PV=1084.25（元）：

2．债券价格与到期时间

债券价格不仅受贴现率（市场利率或必要收益率）的影响，而且受到期时间的影响。债券的到期时间是指当前日至债券到期日之间的时间间隔。

在市场利率保持不变、分次付息的情况下，不管市场利率高于或低于票面利率，债券价格都随到期时间的临近逐渐向债券面值靠近，至到期日时债券价格等于债券面值。当市场利率高于票面利率时，随着时间向到期日靠近，债券价格逐渐提高，最终等于债券面值；当市场利率等于票面利率时，债券价格一直等于票面价值；当市场利率低于票面利率时，随着时间向到期日靠近，债券价格逐渐下降，最终等于债券价格。这种关系可用图5-2表示。

【例5-2】仍用例5-1，如果到期时间缩短至2年，在贴现率等于10%的情况下，债券价格为

在贴现率保持不变（10%）的情况下，到期时间为5年时债券价格为924.28元，3年后，到期时间为2年时债券价格上升至965.24元，与面值1000元接近了。

在例5-1中，如果贴现率（市场利率）变为6%，到期时间为2年，债券价格为

在贴现率为6%并维持不变的情况下，到期时间为5年时，债券价格为1084.29元，3年后下降至1036.67元，也与面值1000元接近了。

在贴现率为8%并维持不变的情况下，到期时间为2年时，债券价格为

在贴现率（市场利率）等于票面利率时，到期时间的缩短对债券价格没有影响。

综上所述，当贴现率（市场利率）一直保持至到期日不变时，随着到期时间的缩短，债券价格逐渐接近其票面价值。

如果贴现率（市场利率）在债券发行后发生变动，债券价格也会因此而变动。随着到期时间的缩短，市场利率的变动对债券价格的影响越来越小。也就是说，债券价格对市场利率特定变化的反映越来越不敏感。

3．债券价格与利息支付频率

实际上，债券利息支付的方式有许多，并非只是每年支付一次利息，不同的利息支付频率对债券的价值也会产生影响。一般来说，除每年付息外，比较典型的利息支付方式有两种：纯贴现债券和平息债券。

（1）纯贴现债券（pure discount bonds）。纯贴现债券是指承诺在未来某一确定日期作单笔支付的债券。这种债券在到期日前购买不能得到任何现金支付，因此也称为“零息债券”。

纯贴现债券承诺在未来支付的金额称为面值。纯贴现债券购买价格与它到期所付的面值之差，就是投资该债券所得的收益。纯贴现债券的价值为

【例5-3】假设有一纯贴现债券，面值为1000元，20年期。假设投资者所要求的必要收益率为10%，则该债券的价值为

PV=1000/(1+10%)20=148.6（元）

（2）平息债券（level-coupon bonds）。平息债券是指在到期时间内平均支付的债券。支付的频率可能是一年一次、半年一次或每季度一次等。平息债券价值的计算公式为

其中，m为年付利息次数，当m=1时，该式就是式（5-1）；n为到期时间的年数；r为每年的必要收益率；I为年付利息；F为面值或到期日支付额。

【例5-4】假设有一债券，面值为1000元，票面年利率为8%，每半年支付一次利息，5年到期。假设贴现率为10%，则该债券的价值为

也可以直接用Excel计算如下：

该债券比每年付息一次的价格（924.28元）降低了。债券付息越短价格越低的现象，仅出现在折价出售的状态。如果溢价出售，情况则正好相反。

（三）流通债券价格

流通债券是指已发行并在二级市场上流通的债券。流通债券与新发行债券的区别主要有：①到期时间小于债券发行在外的时间。②估价的时点不在发行日，可以是任何时点，会产生“非整数计息期”问题。

流通债券的估价方法一般可以采用两种方法：①以现在为折算起点，历年现金流量按非整数计息期折现。②以最近一次付息时间为折算时间点，计算历次现金流量现值，然后将其折算到现在时点。无论采用哪种方法，都需要用计算非整数期的折现系数。

（四）债券收益率

债券估价除采用内在价值的评估方法之外，人们习惯采用另外一种方法来评估债券，即债券的收益率。债券收益率有以下几种不同的计算方法。

（1）本期收益率，又称当期收益率，是指每年支付利息额除以债券当前价格。其计算公式为

（2）持有期收益率，是指买入债券后持有一段时间，又在债券到期前将其出售而得到的收益，包括持有债券期间的利息收入和资本损益（价差）与债券的买入价格之比。其计算公式为

（3）到期收益率（Yield to Maturity，YTM），是指以特定价格购买债券并持有至到期日所能获得的收益率，它是使未来现金流量等于购入价格的折现率，反映债券投资按复利计算的实际收益率。它回答了以何种利率合理地确定债券价格的问题。

计算债券到期收益率的方法是求解含有贴现率的方程，即求解未知数k，它是使债券的价格等于本金现值与利息现值之和的贴现率。

其中，P为债券的价格；A为每年的利息；F为面值；n为到期的年数；k为贴现率。

详细的计算公式为

其中，P0为债券（现在交易）的价格；r0为票面年利率；K为到期收益率。

【例5-5】某公司于2000年2月1日用平价购买了一张面值为1000元的债券，其票面利率为8%，每年2月1日计算并支付一次利息，并于4年后的1月31日到期。该公司持有该债券至到期日，计算该债券到期收益率。

1000=80×(PV/A,k,4)+1000×(P/F,k,4)

对这类问题一般采用“逐步测试法”，解得k=8%。

最简洁的方法是应用Excel直接进行计算，详见本章附录。这里操作如下：

由此可见，平价发行的每年付一次利息的债券，其到期收益率等于票面利率。

债券价格与到期收益率有关：

当到期收益率等于票面利率时，债券价格等于票面价值。

当到期收益率小于票面利率时，债券价格大于票面价值。

当到期收益率大于票面利率时，债券价格小于票面价值。

【例5-6】如例5-5，公司如果是以1100元的价格购买该债券，其他条件不变，则到期收益率为

1100=80×(PV/A,k,4)+1000×(P/F,k,4)

用Excel进行计算的结果为

债券价格与到期收益率之间的关系，可用图5-3表示。

需注意的是，如果债券不是定期付息，而是到期时一次还本付息或用其他方式付息，那么即使平价发行，到期收益率也可能与票面利率不同。

【例5-7】假设你手里有一张票面价值为1000元、20年期的债券，票面利率为5.8%，每半年付息一次。（1）如果该债券目前的市场价格是960.50元，则该债券目前的到期收益率是多少？（2）如果到期收益率为6.8%，则该债券目前的价格是多少？

解：（1）用Excel直接计算半年的到期收益率为

则该债券目前的年到期收益率为

YTM=3.073%×2=6.146%

（2）用Excel直接计算的该债券目前价格为

即该债券目前的价格是891.55元。

须指出的是，债券的到期收益率与一定时间内持有期收益率（或报酬率）存在一定联系：如果债券的到期收益率在持有期内保持不变，债券价格随时间的推移而变化，债券的持有期收益率等于到期收益率。如果市场利率提高，债券的持有期收益率会低于其到期收益率；如果市场利率下降，债券的持有期收益率会高于其到期收益率。

三、利率的期限结构与债券收益率曲线

如前所述，债券价格和债券收益率受到市场利率和期限的影响。公司在融资时，要考虑是发行长期债券还是短期债券，而投资者在决定是买入长期债券还是短期债券时，期限结构是一个必须考虑的重要因素。

（一）利率的期限结构

利率期限结构（term structure of interest rate）是指在某一时点上，不同期限债券的收益率与到期期限之间的关系，它实际上反映的是长期利率和短期利率之间的关系。

由于零息债券的到期收益率等于相同期限的市场即期利率，所以从对应关系上来说，任何时刻的利率期限结构是利率水平和期限相联系的函数，它可以用一条曲线来表示。它揭示了市场利率的总体水平和变化方向，为投资者进行债券投资决策和政府有关部门加强债券市场管理提供了可参考的依据。

当长期利率高于短期利率时，称利率期限结构向上倾斜；而当短期利率高于长期利率时，称利率期限结构向下倾斜。期限结构最常见的形状是向上倾斜的情形。期限结构也可以是呈驼峰状，出现这种情况时，通常是由于在较长到期期限内，利率先上升后下降。

期限结构的形状主要有三个决定因素：①实际利率。实际利率是投资者对于放弃资金使用权所要求的最低回报，是货币的纯时间价值。实际利率可能会因到期期限的不同而不同，因为其他因素所导致的经济增长预期不同。但实际利率对期限结构形状的影响其实并不大。②未来的通货膨胀率。如果投资者考虑到借出资金的不同期限的长短，会意识到未来可能发生的通货膨胀将侵蚀所获得的投资回报，因此投资者通过要求更高的名义利率来补偿由通胀产生的损失（见第三章，rm=re+p），这种额外的补偿称为通货膨胀溢价。③利率风险。利率是经常波动的，由此带来债券价格和收益率的变化。与短期债券相比，长期债券在利率上升时遭受损失的风险更大。投资者如果意识到这类风险，就会要求得到额外的补偿，可通过要求更高的利率来实现，这一额外的补偿称为利率风险溢价。距到期日的时间越长，利率风险就越大，因此，利率风险溢价会随着到期期限的变长而增加。

将上述三个因素结合在一起，可看到期限结构是实际利率、预期通货膨胀率和利率风险这三个因素的综合影响。图5-4给出了这三种因素相互影响而形成的向上倾斜（见图5-4a）和向下倾斜（见图5-4b）的期限结构。但在实际中，期限结构的形状不一定是直线的，可能是复杂的形状，如双峰曲线。

（二）债券收益率曲线

债券收益率曲线（Yield Cueve），是描述在某一时点上一组可交易债券的收益率与其剩余到期期限之间数量关系的一条曲线，即在坐标系中，以债券剩余到期期限为横坐标，以债券收益率为纵坐标，将二者之间的散点图连成的一条曲线。

一条合理的债券收益率曲线将反映出某一时点上（或某一天）不同期限债券的到期收益率水平。债券收益率曲线的形状可以反映出当时长短期利率水平之间的关系，它是市场对当前经济状况的判断及对未来经济走势预期（包括经济增长、通货膨胀、资本回报率等）的结果。收益率曲线的变化本质上体现了债券的到期收益率与期限之间的关系，即债券的短期利率和长期利率表现的差异性。

债券收益率曲线通常表现为四种形态：①正向的收益率曲线，即曲线由左向右上伸展，表明在某一时点上债券的投资期限越长，收益率越高，长期利率高于短期利率，也就意味宏观经济处于增长期阶段；②反向或倒置的收益率曲线，即曲线由左向右下倾斜，表明在某一时点上债券的投资期限越长，收益率越低，长期利率低于短期利率，也就意味着宏观经济进入衰退期；③水平的收益率曲线，表明收益率的高低与投资期限的长短无关，无论债券期限如何变化，到期收益率不变，长期利率等于短期利率，也就意味着社会经济出现了极不正常的情况；④波动的收益率曲线，表明债券收益率随投资期限不同而呈现波浪变动，也就意味着社会经济未来有可能出现波动。我们称形态①为正向或正常的债券收益率曲线；其他几种形态（②③④）称为逆向或异常的债券收益率曲线。

绘制并研究债券收益率曲线具有重要意义，它能为政策制定者及监管部门、各类债券发行人、债券投资者和债券中介评级机构提供各类债券的合理收益率水平和决策参考。

图5-5是一个一般形态的（正常）债券收益率曲线。

图5-6是中国债券信息网（中央国债官网）提供的2019年2月26日中国债券国债收益率曲线。中国债券收益率曲线是一个体系，目前每天提供60多条各类债券收益率曲线（详见中国债券信息网，http://yield.chinabond.com.cn/）。实际上每天都可以绘制出不同期限的债券收益率曲线。但随着时间的推移，债券收益率曲线的位置和斜率都可能发生变化，即它具有动态性。

引起我们思考的问题是，既然长期债券的收益率较高，为什么有很多投资者仍然不愿去买长期债券，而去购买收益率低的短期债券呢？可能的原因是：一是长期债券的期限长、不确定性大，其债券价格的波动性也比短期债券大得多。因此出于风险考虑，投资者可能更喜欢价格波动小的短期债券。二是如果利率提高，短期债券投资者可能获利，短期债券增强了投资者的流动性，他收回投资后可以在市场上以任何一种利率进行再投资，以获得较高的收益，也能弥补短期债券的较低收益。

从利率期限结构和债券收益率曲线的形状看，二者几乎没有什么差别，区别在于期限结构是基于纯折现债券，而收益率曲线是基于普通债券的收益率。在实际债券估价或收益率计算中，需注意的是：一是国债收益率同样依赖于期限结构的三个主要决定因素，但国债具有无违约风险和较高流动性的特征。二是普通债券（如某些公司债或地方债）具有存在违约的可能（即信用风险（违约风险））和债券流动性不高等风险，因此，债券投资者一般会要求有“风险溢价”来弥补各种风险带来的损失。