![智能控制:理论基础、算法设计与应用](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/210/31476210/b_31476210.jpg)
2.4 模糊关系及其运算
描述客观事物间联系的数学模型称作关系。集合论中的关系精确地描述了元素之间是否相关,而模糊集合论中的模糊关系则描述了元素之间相关的程度。普通二元关系是用简单的“有”或“无”来衡量事物之间的关系,因此无法用来衡量事物之间关系的程度。模糊关系则是普通关系的推广,它是指多个模糊集合的元素间所具有关系的程度。模糊关系在概念上是普通关系的推广,普通关系则是模糊关系的特例。
2.4.1 模糊关系矩阵
例2.6 设有一组同学X,X={张三,李四,王五},他们的功课为Y,Y={英语,数学,物理,化学}。他们的考试成绩如表2.2所示。
表2.2 考试成绩表
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-T35_3517.jpg?sign=1738177077-GmbOMNtGbrz2qSFiBYUKrcjb9mq3WY70-0-61f26d7591c73b95d44bbd447ed24e12)
取隶属函数,其中u为成绩。如果将他们的成绩转化为隶属度,则构成一个X×Y上的一个模糊关系R,如表2.3所示。
表2.3 考试成绩表的模糊化
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-T35_3518.jpg?sign=1738177077-KZfYT71zurHLgODOXHlfKIdBab85LxIu-0-ddd3b2ad55755231a6c0fa2235967622)
将表2.3写成矩阵形式,得
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P36_12266.jpg?sign=1738177077-quBrMihs1MASWC3sFDu9Z2mi67dasQ8G-0-1bb6a430baeaf7f863d39dacd82da5c7)
该矩阵称作模糊矩阵,其中各个元素必须在[0,1]闭环区间上取值。矩阵R也可以用关系图来表示,如图2.10所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P36_1969.jpg?sign=1738177077-uVAnR4yJp1qCEdDxwGzD5cE8Ic6K9YyM-0-a6c577accce0c33fb6970aff12dd943f)
图2.10 R的关系图
2.4.2 模糊矩阵运算
设有n阶模糊矩阵A和B,A=(aij),B=(bij),且i,j=1,2,…,n,则定义如下几种模糊矩阵运算方式。
(1)相等。
若aij=bij,则A=B。
(2)包含。
若aij≤bij,则A⊆B。
(3)并运算。
若cij=aij∨bij,则C=(cij)为A和B的并,记为C=A∪B。
(4)交运算。
若cij=aij∧bij,则C=(cij)为A和B的交,记为C=A∩B。
(5)补运算。
若cij=1-aij,则C=(cij)为A的补,记为。
例2.7 设,
则
模糊关系的定义为:设X和Y是两个非空集合,则X×Y的一个模糊子集称为X到Y的一个模糊关系。
2.4.3 模糊矩阵的合成
所谓合成,即由两个或两个以上的关系构成一个新的关系。模糊关系也存在合成运算,是通过模糊矩阵的合成进行的。
R和S分别为U×V和V×W上的模糊关系,而R和S的合成是U×W上的模糊关系,记为RºS,其隶属函数为
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P37_12276.jpg?sign=1738177077-P8QKEskAhOA5lSI6eZlcIcgpsbcQt9aJ-0-2f7411641072f287405a6292c4499b35)
例2.8 设,
,
则,其中
c11=(a11∧b11)∨(a12∧b21)
c12=(a11∧b12)∨(a12∧b22)
c21=(a21∧b11)∨(a22∧b21)
c22=(a21∧b12)∨(a22∧b22)
当,
时,有
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P37_12286.jpg?sign=1738177077-vDVlHuZZmcaIoR6aFoP5gDwI2BGYYxmZ-0-b2b67a1b525cf1cb385b8c0a070ee8b8)
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P37_12287.jpg?sign=1738177077-gTwUdqEhBQhTrHeXDtVABTlzUOFG3NMl-0-bbdd0ddee3eb4b5f5b8b76479fc6f72e)
可见,AºB≠BºA。
采用MATLAB可实现模糊矩阵的合成,仿真程序见chap2_4.m。
仿真程序:chap2_4.m
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P37_12289.jpg?sign=1738177077-9i9qi2RCEtcR4AYJt4EDnpOmNDoUXuEx-0-bcf7e892d235a185d4bc0f65a2c60d32)
例2.9 某家中子女和父母的长相“相似关系”R为模糊关系,可表示为
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-T38_3519.jpg?sign=1738177077-T7ybXvDIO2EjAqE17riPEQiKvjMfWLBy-0-575547e0b69eb6584587eb77812a310a)
用模糊矩阵R表示为
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P38_12290.jpg?sign=1738177077-BF3Q4LfD67wE2wgyEAp81g3l3DM9uv6T-0-dc504aced4d5afd34437adb7fc7a2a1e)
该家中,父母与祖父的“相似关系”S也是模糊关系,可表示为
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-T38_12292.jpg?sign=1738177077-Tz8MvB5yiKipTdpnWmHb8Rs2swwOLRwe-0-dac2035c78ee377fdceec2894c0a1c7c)
用模糊矩阵S表示为
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P38_12294.jpg?sign=1738177077-rTAstAVFdmN9YTPENZDtSeNtCYiTGYmi-0-e5ce7b06700668fa0809784e9b62a0ac)
那么在该家中,孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度应该如何呢?
模糊关系的合成运算就是为了解决诸如此类的问题而提出来的。针对此例,模糊关系的合成运算为
![](https://epubservercos.yuewen.com/5343CC/17035792805330906/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P38_12296.jpg?sign=1738177077-hREQ9ScnMCcq48vEj1m3eajasX6mQE70-0-6c48fcd53f813010e55e1230e9f3d820)
该结果表明,孙子与祖父、祖母的相似程度分别为0.2和0.2,而孙女与祖父、祖母的相似程度分别为0.5和0.6。