2.3 圆轴扭转
2.3.1 工程实例
在工程实际中有些杆件会发生扭转变形，例如，开锁的钥匙，汽车方向盘操纵杆，图2.17所示机械中的传动轴等都是受扭的构件。
图2.17 传动轴
扭转变形受力特点：在垂直杆件轴线的平面内作用一对大小相等、方向相反的外力偶。其变形特点是：各横截面绕杆的轴线发生相对转动，两截面相对转过的角度称为扭转角，如图2.18所示。
图2.18 扭转角
2.3.2 扭矩与扭矩图
1．外力偶矩的计算
实际中，作用于轴上的外力偶矩，并不都是直接给出的，根据给定的轴的转速n和轴传递的功率P，由以下公式确定：
（2-7）
式中，M——作用在轴上的外力偶矩（N·m）；
P——轴传递的功率（kW）；
n——轴的转速（r/min）。
2．扭矩和扭矩图
（1）扭矩。圆轴在外力偶矩作用下，其横截面上将有内力产生，应用截面法可以求出横截面上的内力。如图2.19所示，假想地用一截面m-m将轴分成两段，取左段为研究对象，如图2.19（b）所示，由平衡方程得
图2.19 右手螺旋法则
式中，T为m-m截面的内力偶矩，称为扭矩。
如果取右段为研究对象，如图2.19（c）所示，也可得到同样的结果。为了使从左、右两段求得同一截面上的扭矩相一致，通常使用右手螺旋法则规定扭矩的正负。即以右手四指表示扭矩的转向，则大拇指的指向远离截面时，扭矩为正；反之，扭矩为负，如图2.19（d）所示。
（2）扭矩图。当轴上同时有几个外力偶作用时，各横截面上的扭矩必须分段计算。表示轴上各横截面扭矩变化规律的图形称为扭矩图。扭矩图的绘制方法与轴力图相似，即以横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面的扭矩，正扭矩画在横坐标轴上方，负扭矩画在横坐标轴下方。
例2.5 图2.20所示为一传动轴，轮A、B、C上作用着外力偶，试画出轴的扭矩图。若将轮A和轮B的位置对调，其扭矩图有何改变？
图2.20 例2.5图
解：（1）计算各段扭矩。取1-1截面左侧为研究对象，如图2.20（f）所示，T1表示截面的扭矩，由平衡方程得
取2-2截面右侧为研究对象，如图2.20（c）所示，T2表示截面的扭矩，由平衡方程得
若取右段为研究对象，如图2.20（b）所示，结果与取左段相同。
（2）作扭矩图，如图2.20（d）所示。
（3）对调轮A和轮B的位置后作扭矩图，如图2.20（g）所示。
比较图2.20（d）、（g）扭矩图，当轮的位置改变时，轴的扭矩最大值（绝对值）发生了变化，图2.20（a）中
kN·m，而图2.20（e）中
kN·m，轴的强度与扭矩的最大值有关。因此在布置各轮的位置时，要尽可能降低轴内的最大扭矩值。
2.3.3 圆轴扭转时横截面上的应力及强度计算
1.圆轴扭转时横截面上的应力
为求得圆轴扭转时横截面上的应力，必须了解应力在截面上的分布规律，观察圆轴的变形情况。
取图2.21（a）所示圆轴，在其表面画出一组平行轴线的纵向线与横向线（圆周线），表面形成许多小矩形。在轴上作用外力偶M，可以观察到如下现象：
图2.21 圆轴的扭转变形
（1）各纵向线均倾斜一微小角度γ，原来轴表面上的小矩形变成平行四边形。
（2）圆周线均旋转了一微小角度，而圆周线的形状、大小及间距均无变化。
根据观察到的这些现象，由此可以得出：
①相邻截面相对地转过了一个角度，即横截面间发生旋转式的相对错动，发生剪切变形，故横截面上有切应力存在。又因半径长度不变，故切应力方向必与半径垂直，如图2.22所示。
图2.22 横截面上的切应力
②由于相邻截面的间距不变，所以横截面上无正应力。
③横截面上的切应力在截面上不是均匀分布的，因此切应力计算公式不能直接写出，可通过几何关系、物理关系及静力学关系导出。因推导过程烦琐，在此不做详细介绍，只给出结果，即圆轴扭转时横截面上任意点的切应力计算公式为：
（2-8）
式中，
——横截面上任意点的切应力（MPa）；
T——横截面上的扭矩（N·m）；
ρ——横截面任意点到圆心的距离（mm）；
IP——横截面对圆心的极惯性矩（m4或mm4）。
最大切应力发生在截面边缘处，即ρ=R时，其值为：
（2-9）
式中，R为圆轴的半径（m或mm）；
，称为抗扭截面系数（m3或mm3）。
极惯性矩及抗扭截面系数与截面的形状、大小有关，工程上圆轴有实心轴和空心轴，它们的
和
分别是：
实心轴：设直径为d，则有
空心轴：设外径为D1，内径为d1，则有
式中，
。
2.圆轴扭转时的强度计算
与拉伸（压缩）时的强度计算一样，圆轴扭转时必须使最大切应力
不超过材料的许用切应力
，故圆轴扭转时的强度条件是：
许用切应力
值是根据试验测定的，可查有关手册。它与材料的许用拉应力[σ]之间存在下列关系：
对于塑性材料：
对于脆性材料：
例2.6 某传动轴如图2.23所示，主动轮C输入外力偶矩MC=955N·m，从动轮A、B、D的输出外力偶矩分别为MA=159.2N·m，MB=318.3N·m，MD=477.5N·m，已知材料的许用应力
=40MPa，轴的直径为50mm。试校核轴的强度。
图2.23 例2.6图
解：（1）计算轴各段的扭矩，画扭矩图。
由图2.23可知最大扭矩发生在BC段和CD段，即
（2）校核强度。
所以强度够。