1.4 力矩和力偶

力对物体除了移动效应，还有另一种作用，即力对物体的转动效应。本节将讨论描述这种作用的两个概念：力矩和力偶，以及它们的性质和计算方法。

1.4.1 力矩

1.力对点之矩

力对点之矩如图1.20所示。用扳手拧紧螺母时，拧动螺母的转动效应不仅与力的大小有关，而且与转动中心（O点）到力的作用线的垂直距离d有关。工程上把力使物体绕O点转动效应的物理量称为力对O点之矩，简称力矩，用MO()表示，即

（1-5）

式中，O点称为力矩中心，简称矩心；O点到F作用线的垂直距离称为力臂。正负号表明力矩是一个代数量，其正负规定为：力使物体绕矩心做逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。力矩的单位是N·m。

2.合力矩定理

若力系有合力，则合力对某点之矩等于各个分力对同一点之矩代数和，即

（1-6）

式中，是,,…,的合力。

例1.4　图1.21所示圆柱直齿轮的齿面受力N，压力角a=20°，分度圆直径d=160mm，试计算对轴心O的力矩。

解：（1）按力对点之矩的定义，有

（2）按合力矩定理得：

由此可见，以上两种方法的计算结果是相同的，这就验证了合力矩定理。

1.4.2 力偶

1.力偶的概念

在实践中，常遇到某物体受一对大小相等、方向相反、作用线平行的两个力作用。例如，开门锁、司机用双手转动方向盘（见图1.22（a））、钳工用双手转动杠丝锥功螺纹（见图1.22（b））等。这种大小相等、方向相反、作用线平行的两个力称为力偶，如图1.22（c）所示。

力偶中的两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的作用面。

力偶对物体的转动效应取决于组成力偶反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的转向。以力与力偶臂的乘积作为度量力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，记为M (、)或M，即

（1-7）

一般规定，逆时针转向力偶矩为正，顺时针为负。力偶矩的单位为N·m。

力偶的三要素：力偶矩的大小、转向及作用面。三要素中的任何一个发生改变，力偶对物体的转动效应就会改变。

2.力偶的性质

（1）力偶无合力。因为组成力偶的两个力在其作用面内任一坐标轴上的投影之和等于零。

（2）力偶只能用力偶来平衡。由于力偶对刚体只能产生转动效应，没有移动效应，所以力偶不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡。

（3）力偶的等效性。在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效，且可以相互代换。

力偶和力是力学中的基本物理量。

1.4.3 平面力偶系的合成及平衡

1．平面力偶系的合成

设在刚体基本平面上作用有若干个力偶，其力偶矩分别为M1, M2, …, Mn，现求其合成结果。根据力偶的性质，力偶对刚体只产生转动效应，受若干个力偶共同作用时，也只能使刚体产生转动效应，可以证明，其力偶系对刚体的转动效应的大小等于各力偶转动效应的总和，即平面力偶系合成一个合力偶，其合力偶矩等于各力偶矩的代数和，即

（1-8）

2.力偶系的平衡

平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即

（1-9）

例1.5　如图1.23所示多轴钻床在水平放置的工件上钻三个直径相同的圆孔，且每个钻头作用于工件的切削力偶矩为M1=M2=10N·m，M3=15N·m，转向如图1.23所示，固定螺栓A、B之间的距离L=0.2m。求两个螺栓所受的力。

解：取工件为研究对象，作用于其上三个主动力偶矩和两个螺栓的受力作用而平衡，且在同一平面内，由于力偶只能用力偶平衡，两个螺栓的受力和必然组成力偶，该两力的方向假设如图1.23所示，且FA=FB，由平面力偶系的平衡条件有

解得：

所得FA和FB为正值，所设方向与实际方向相同。

1.4.4 力的平移定理

作用于刚体上的力，均可平移到刚体内的任一点，但必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对该点之矩。

图1.24描述了力向作用线外一点平移的过程。欲将作用于刚体上A点的力平移到平面上任一点O，如图1.24（a）所示，则可在O点施加一对与力值相等的平衡力、，如图1.24（b）所示，取与为一对等值、反向、不共线的平行力，组成一个力偶，称为附加力偶，其力偶矩等于原力对O点力矩，即

于是原来作用在A点的力，与作用在O点的平移力和附加力偶M的联合作用等效。如图1.24（c）所示。