第五章

5.1　古代人是如何知道π的数值的

今天，π对我们来说是一件理所当然的事情，当我们知道了一个花瓶的直径，我们能够很快计算出花瓶底部的周长。在古代，人们都是凭借经验来测算圆的周长，古埃及人认为圆周长是直径长的3.16倍，而古罗马人认为是3.12倍，其实π的值为3.14159……

你也许会感到很好奇，为什么他们计算出来的误差这么大，难道不是一件很简单的小实验吗？难道他们不会用一根线绕在任意一个圆形的物体上然后测量出绳子的长度，除以直径不就得到精确的数值了吗？

实际情况并没有那么简单，我们还是用花瓶来做实验。我们假设这个花瓶的直径为100毫米，那么按照我们现在对π的了解，这个花瓶瓶底的周长应该为314毫米。但是在实际操作中，你得不到314毫米这个数值，会有1毫米的出入，这是很正常的事情，如果按照我们实际测量的数值来规定π，那么π就可能是3.13或3.15了。还有一点，我们是规定了花瓶的直径为100毫米，在实际操作中，我们也不太可能准确测量出花瓶的直径，误差也在1毫米左右，这样计算出来的π值的范围将在之间，用数字表示就是在3.09和3.18之间。

我们用这种实验方法，偶尔也能得到3.14，但是建立在这个背景之下的数值3.14并不会特别引人注目，这只是一个在3.09和3.18之间的偶然的数字。

我们有了这样的经验，就知道了为什么阿基米德不采用实际测量的方法，而是使用推理的方法来得到π的数值35.2π的精确度在古代阿拉伯数学家穆罕默德·本·木兹所著的《代数学》中有段话代表了人们对圆周计算方法的描述：

最好的方法是把圆的直径乘以3，这是最便捷的方法，只有真主才能有比这更快的方法。

现在我们都知道，阿基米德推算出的这个3并不是完全精确的，而且经历了历史的长河，我们也知道了圆周和直径的比值是不可能用任何一个简单而精准的数值表达出来的，这个数值永远都只能是个近似值。

虽然在日常生活中，这个近似值已经足够了，但是数学家们对于这个数值的精确度却有孜孜不倦的追求。

16世纪时，有位荷兰数学家鲁多尔夫将π的数值精确到了小数点后35位，并将这个数值刻在了自己的墓碑上：

3.141　，592，653，589，793，238，462，643，383，279，502，88……

19世纪时，德国数学家圣克斯又计算出了的小数点后707位！其实无论是理论上，还是实际运用中，这样精确的都是没有什么意义的。但是数学家们为了乐趣，甚至是为了追求“破纪录”的快乐，仍然孜孜不倦地追求的精确度。

图43　数学家引以为豪的墓碑

在1946年到1947年之间，来自曼切斯特大学的菲尔古松和来自华盛顿的伦其将π后面小数点的位数扩展到了808位，并且发现了之前圣克斯计算的数据中，从528位开始都是错误的，这令他们感到欣喜不已。

数学家格拉维曾经举过一个例子，根据这个例子我们可以清楚看出，将π计算到100之后是没有任何意义的。如果说我们知道地球的精确直径，想要精确地计算出地球赤道的圆周长，精确到1厘米，我们也只需要小数点后9位数字的π就足够了。假设我们使用了小数点后18位的π值，计算出来的差距也不超过0.0001毫米，甚至远远比不上一根头发丝那么粗。

对于日常生活中的一般计算，小数点后两位数（3.14）就足够了；对于更加精确的计算，也只需要小数点后四位数（3.1416）即可，最后的6是根据5四舍五入的结果。