3.2　定位成功概率

本节将给出定位成功概率的定义及其理论计算公式。假设辐射源位置向量的某个无偏估计值为，其均方误差矩阵为，于是有

式中，表示估计误差，假设其服从高斯分布，并且其均值为零，协方差矩阵为。

下面给出两类定位成功概率的定义，并且分别推导它们的理论表达式。

【定义3.1】若定位误差满足（其中表示误差向量的维数），则认为是第1类定位成功。

由于误差向量的概率密度函数为

于是第1类定位成功概率的计算公式为

显然，式（3.29）是正方体上的高维积分，可以通过数值运算获得其数值解。

【定义3.2】若定位误差满足，则认为是第2类定位成功。

第2类定位成功所满足的条件等价为，于是第2类定位成功概率可以表示为。利用文献[59]中的结论可以得到如下关系式：

式中，表示虚数单位，满足；表示随机变量的特征函数。下面需要确定函数的表达式，具体可见如下命题。

【命题3.7】若均方误差矩阵的个特征值为，则随机变量的特征函数可以表示为

【证明】令随机向量服从均值为零、协方差矩阵为的高斯分布，则有

式中，表示两边的随机变量服从相同的概率分布。对矩阵进行特征值分解可得

式中，表示对应于特征值的单位特征向量。将式（3.33）代入式（3.32）中可得

式中，。由于是服从均值为零、方差为1的高斯随机变量，于是随机变量的特征函数为，而随机变量的特征函数为。另一方面，利用对称矩阵特征向量之间的正交性可知，与（）之间相互统计独立，于是与（）之间也相互统计独立，由此可得

证毕。

将式（3.31）代入式（3.30）中可得

式中

由式（3.36）可知，第2类定位成功概率可以通过一维数值积分来获得，并且其积分区间为，为此需要分析被积分函数在和时的取值。首先根据洛必达法则可得

并且不难验证

由于当时被积分函数趋于零，因此式（3.36）中的积分上限可以选取一个充分大的正数来逼近。

【注记3.9】不难证明，第1类定位成功概率总是小于第2类定位成功概率，这是因为第1类定位成功概率是在正方体内进行积分的，而第2类定位成功概率是在该正方体的外接球内进行积分的，显然第2类积分区域要大于第1类积分区域。

【注记3.10】根据定义3.1和定义3.2可知，两类定位成功概率均随着的增加而增加，当时，无论采用何种定位方法，两类定位成功概率都将趋于1；当时，无论采用何种定位方法，两类定位成功概率都将趋于0。因此，参数应根据具体的定位场景和需求来选取。