4.3　基于加权多维标度的定位方法2

4.3.1　标量积矩阵的构造

方法2中标量积矩阵的构造方式与方法1中的有所不同。首先令

利用传感器和辐射源的位置向量定义如下坐标矩阵[7]：

式中

假设为列满秩矩阵，即有。然后构造如下标量积矩阵：

根据命题2.12可知，矩阵可以表示为

式中

式（4.46）和式（4.47）提供了构造矩阵的计算公式，相比于方法1中的标量积矩阵，方法2中的标量积矩阵的阶数增加了1维。现对矩阵进行特征值分解可得

式中，为特征向量构成的矩阵；为特征值构成的对角矩阵，并且假设。由于，则有。若令、及，则可以将矩阵表示为

再利用特征向量之间的正交性可得

【注记4.5】本章将矩阵的列空间称为信号子空间（也称为信号子空间矩阵），将矩阵的列空间称为噪声子空间（也称为噪声子空间矩阵）。

4.3.2　一个重要的关系式

类似于命题4.1，这里可以得到如下结论。

【命题4.3】假设是行满秩矩阵，则有

命题4.3的证明与命题4.1的证明类似，限于篇幅这里不再重复阐述。式（4.51）给出的关系式至关重要，但并不是最终的关系式。将式（4.51）两边左乘以可得

式中，第2个等号处的运算利用了式（4.49）。式（4.52）即为最终确定的关系式，它建立了关于辐射源位置向量的伪线性等式，其中一共包含个等式，而TOA观测量仅为个，这意味着该关系式是存在冗余的。

4.3.3　定位原理与方法

下面将基于式（4.52）构建确定辐射源位置向量的估计准则，并且推导其最优解。为了简化数学表述，首先定义如下矩阵和向量：

结合式（4.52）和式（4.53）可得

1．一阶误差扰动分析

在实际定位过程中，标量积矩阵的真实值是未知的，因为其中的真实距离仅能用其观测值来代替，这必然会引入观测误差。不妨将含有观测误差的标量积矩阵记为，于是利用式（4.46）和式（4.47）可知，矩阵可以表示为

由于，于是可以定义如下误差向量：

式中，表示中的误差矩阵，即有。若忽略观测误差的二阶及其以上各阶项，根据式（4.55）可以将误差矩阵近似表示为

将式（4.57）代入式（4.56）中可以将误差向量近似表示为关于观测误差的线性函数，如下式所示：

式中

式（4.58）的推导见附录A.3。由式（4.58）可知，误差向量渐近服从零均值的高斯分布，并且其协方差矩阵为

2．定位优化模型及其求解方法

一般而言，矩阵是列满秩的，即有。由此可知，协方差矩阵的秩也为，但由于是阶方阵，这意味着它是秩亏损矩阵，所以无法直接利用该矩阵的逆构建估计准则。下面利用矩阵奇异值分解重新构造误差向量，以使其协方差矩阵具备满秩性。

首先对矩阵进行奇异值分解，如下式所示：

式中，为阶正交矩阵；为阶正交矩阵；为阶对角矩阵，其中的对角元素为矩阵的奇异值。为了得到协方差矩阵为满秩的误差向量，可以将矩阵左乘以误差向量，并结合式（4.56）和式（4.58）可得

由式（4.61）可得，将该式代入式（4.62）中可知，误差向量的协方差矩阵为

容易验证为满秩矩阵，并且误差向量的维数为，其与TOA观测量个数相等，此时可以将估计辐射源位置向量的优化准则表示为

式中，可以看作加权矩阵，其作用在于抑制观测误差的影响。不妨将矩阵分块表示为

则可以将式（4.64）重新写为

根据命题2.13可知，式（4.66）的最优解为

【注记4.6】由式（4.60）、式（4.61）及式（4.63）可知，加权矩阵与辐射源位置向量有关。因此，严格来说，式（4.66）中的目标函数并不是关于向量的二次函数，针对该问题，可以采用注记4.1中描述的方法进行处理。理论分析表明，在一阶误差分析理论框架下，加权矩阵中的扰动误差并不会实质影响估计值的统计性能。

图4.8给出了本章第2种加权多维标度定位方法的流程图。

4.3.4　理论性能分析

下面将推导估计值的理论性能，主要是推导估计均方误差矩阵，并将其与相应的克拉美罗界进行比较，从而证明其渐近最优性。这里采用的性能分析方法是一阶误差分析方法，即忽略观测误差的二阶及其以上各阶项。

首先将最优解中的估计误差记为。基于式（4.67）和注记4.6中的讨论可知

式中，表示的估计值。在一阶误差分析框架下，基于式（4.68）可以进一步推得

式中，，表示矩阵中的扰动误差。由式（4.69）可知，估计误差渐近服从零均值的高斯分布，因此估计值是渐近无偏估计，并且其均方误差矩阵为

【注记4.7】式（4.69）再次表明，在一阶误差分析理论框架下，矩阵中的扰动误差并不会实质影响估计值的统计性能。

下面证明估计值具有渐近最优性，也就是证明其估计均方误差矩阵可以渐近逼近相应的克拉美罗界，具体可见如下命题。

【命题4.4】在一阶误差分析理论框架下，。

【证明】首先将式（4.63）代入式（4.70）中可得

对比式（4.37）和式（4.71）可知，下面仅需要证明

考虑等式，将该等式两边对向量求导可知

再用矩阵左乘以式（4.73）两边可得

由式（4.74）可知式（4.72）成立。证毕。

4.3.5　仿真实验

假设利用6个传感器获得的TOA信息（也即距离信息）对辐射源进行定位，传感器三维位置坐标如表4.2所示，距离观测误差服从均值为零、协方差矩阵为的高斯分布。

首先将辐射源位置向量设为(m)，将标准差设为，图4.9给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线；图4.10给出了定位结果散布图与误差概率圆环曲线。

然后将辐射源坐标设为两种情形：第1种是近场源，其位置向量为(m)；第2种是远场源，其位置向量为(m)。改变标准差的数值，图4.11给出了辐射源位置估计均方根误差随着标准差的变化曲线；图4.12给出了辐射源定位成功概率随着标准差的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

最后将标准差设为两种情形：第1种是；第2种是，将辐射源位置向量设为(m)。改变参数的数值，图4.13给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数的变化曲线；图4.14给出了辐射源定位成功概率随着参数的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

从图4.11～图4.14中可以看出：（1）基于加权多维标度的定位方法2的辐射源位置估计均方根误差同样可以达到克拉美罗界（见图4.11和图4.13），这验证了4.3.4节理论性能分析的有效性；（2）随着辐射源与传感器距离的增加，其定位精度会逐渐降低（见图4.13和图4.14），其对近场源的定位精度要高于对远场源的定位精度（见图4.11和图4.12）；（3）两类定位成功概率的理论值和仿真值相互吻合，并且在相同条件下第2类定位成功概率高于第1类定位成功概率（见图4.12和图4.14），这验证了3.2节理论性能分析的有效性。

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[1]若信号传播速度已知，则距离与到达时间是可以相互转化的。

[2]这里使用下角标“toa”来表征所采用的定位观测量。

[3]本节中的数学符号大多使用上角标“（1）”，这是为了突出其对应于第1种定位方法。

[4]这里使用下角标“p”表示在传感器位置精确已知条件下的估计值。

[5]这里使用下角标“toa”来表征此克拉美罗界是基于TOA观测信息推导出来的。

[6]参数k越大，辐射源与传感器之间的距离越远。

[7]本节中的数学符号大多使用上角标“（2）”，这是为了突出其是对应于第2种定位方法。