6.3　基于加权多维标度的定位方法1

6.3.1　标量积矩阵的构造

这里的标量积矩阵与4.2.1节中的标量积矩阵相同，其表达式为

式中，为坐标矩阵，它由传感器和辐射源的位置向量构成，如下式所示：

式中，[3]。

根据4.2.1节中的讨论可知，矩阵可以表示为

式中，。

6.3.2　一个重要的关系式

利用式（4.20）可以直接得到如下关系式：

式中

式（6.19）建立了关于辐射源位置向量的伪线性等式，其中一共包含个等式，而RSS观测量也为个，因此观测信息并无损失。下面可以基于式（6.19）构建针对辐射源定位的估计准则。

6.3.3　定位原理与方法

1．一阶误差扰动分析

在实际定位过程中，标量积矩阵的真实值是未知的，因为其中的真实距离平方应由其无偏估计值来代替，这必然会引入误差。不妨将含有误差的标量积矩阵记为，于是根据式（6.16）可以将该矩阵表示为

由于，于是可以定义如下误差向量：

式中，表示中的误差矩阵，即有，它可以表示为

将式（6.23）代入式（6.22）中可以将误差向量表示为关于误差的线性函数，如下式所示：

式中

式（6.24）的推导见附录C.1。由式（6.24）可知，误差向量的均值为零，协方差矩阵为

2．定位优化模型及其求解方法

基于式（6.22）和式（6.26）可以构建估计辐射源位置向量的优化准则，如下式所示：

式中，可以看作加权矩阵，其作用在于抑制误差的影响。不妨将矩阵分块为

于是可以将式（6.27）重新表示为

根据命题2.13可知，式（6.29）的最优解为

【注记6.2】由式（6.26）可知，加权矩阵与辐射源位置向量有关。因此，严格来说，式（6.27）中的目标函数并不是关于向量的二次函数，针对该问题，可以采用注记4.1中描述的方法进行处理。理论分析表明，在一阶误差分析理论框架下，加权矩阵中的扰动误差并不会实质影响估计值的统计性能。

图6.1给出了本章第1种加权多维标度定位方法的流程图。

6.3.4　理论性能分析

下面将利用4.2.4节中的结论直接给出估计值的均方误差矩阵，并将其与克拉美罗界进行比较，从而证明其渐近最优性。

首先将最优解的估计误差记为，仿照4.2.4节中的理论性能分析可知，最优解是关于向量的渐近无偏估计值，并且其均方误差矩阵为

下面证明估计值具有渐近最优性，也就是证明其估计均方误差矩阵可以渐近逼近相应的克拉美罗界，具体可见如下命题。

【命题6.3】如果满足，则有[4]。

【证明】首先根据命题3.1可知

式中

将式（6.33）代入式（6.32）中可得

另一方面，当时，满足，将该近似等式代入式（6.26）中可得

再将式（6.35）代入式（6.31）中可得

考虑等式，将该等式两边对向量求导可得

式中

结合式（6.37）和式（6.38）可得

最后将式（6.39）代入式（6.36）中可得

证毕。

6.3.5　仿真实验

假设利用9个传感器获得的RSS信息对辐射源进行定位，传感器二维位置坐标如表6.1所示，阴影衰落服从均值为零、协方差矩阵为的高斯分布。

首先将辐射源位置向量设为(m)，将标准差设为，将路径损耗因子设为，图6.2给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线；图6.3给出了定位结果散布图与误差概率圆环曲线。

然后将辐射源坐标设为两种情形：第1种是近场源，其位置向量为(m)；第2种是远场源，其位置向量为(m)，将路径损耗因子设为。改变标准差的数值，图6.4给出了辐射源位置估计均方根误差随着标准差的变化曲线；图6.5给出了辐射源定位成功概率随着标准差的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

接着将标准差设为两种情形：第1种是；第2种是，将路径损耗因子设为，将辐射源位置向量设为(m)[5]。改变参数的数值，图6.6给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数的变化曲线；图6.7给出了辐射源定位成功概率随着参数的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

最后将标准差设为两种情形：第1种是；第2种是，将辐射源位置向量设为(m)。改变路径损耗因子的数值，图6.8给出了辐射源位置估计均方根误差随着路径损耗因子的变化曲线；图6.9给出了辐射源定位成功概率随着路径损耗因子的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

从图6.4～图6.9中可以看出：（1）基于加权多维标度的定位方法1的辐射源位置估计均方根误差可以达到克拉美罗界（见图6.4、图6.6及图6.8），这验证了6.3.4节理论性能分析的有效性；（2）随着辐射源与传感器距离的增加，其定位精度会逐渐降低（见图6.6和图6.7），其对近场源的定位精度要高于对远场源的定位精度（见图6.4和图6.5）；（3）随着路径损耗因子的增加，辐射源定位精度会逐渐提高（见图6.8和图6.9）；（4）两类定位成功概率的理论值和仿真值相互吻合，并且在相同条件下第2类定位成功概率高于第1类定位成功概率（见图6.5、图6.7及图6.9），这验证了3.2节理论性能分析的有效性。