阿基米德方法

我真正开始崇拜阿基米德，是因为他在自己的论著中做了鲜有天才会做的事情：邀请我们参与其中，向我们展示他是如何思考的。他冒着受到攻击的风险，分享了自己的直觉，还说他希望未来的数学家也能够用它去解决他不理解的问题。今天，这个秘诀被称为阿基米德方法，但我在微积分课上从未听人提到它。学生们已经不再学习这种方法了，不过我发现它的故事和它背后的思想都十分迷人，而且令人震惊。

他在给他的朋友埃拉托色尼的信中提及了这种方法，埃拉托色尼是亚历山大图书馆的馆长，也是那个时代唯一能理解阿基米德方法的数学家。阿基米德坦承，尽管他的方法“并没有真正证明”他感兴趣的结果，但却赋予了他一种直觉，可以帮助他弄清楚什么是正确的。正如他说的那样：“相比没有任何知识基础，如果我们之前已经利用这种方法获得了与问题相关的某些知识，那么论证起来就会更容易。”换句话说，通过对这种方法的探索和运用，他对这个领域有了一定的了解，并完成了一次无懈可击的论证。

这是对创造性数学研究的诚实描述。数学家不会一下子想到证明方法，而是先产生直觉，再考虑严谨性的问题。高中的几何课程常常忽略直觉和想象力的重要作用，但它们对所有创造性数学研究来说都是不可或缺的。

阿基米德最后提出了他的希望：“在现在和未来的几个世代中，某些人会利用这种方法，找到我们尚未掌握的其他定理。”这句话几乎让我热泪盈眶。这位无与伦比的天才在数学的无限性面前感到了自己生命的有限性，他认识到还有很多事情要做，即“找到我们尚未掌握的其他定理”。所有数学家都有这样的感觉，我们的研究课题永无止境，就连阿基米德本人也要俯首称臣。

在用碎片做立体主义证明之前，阿基米德在《抛物线求积法》的开头部分第一次提到了这个方法。他坦承，正是这个方法指引他完成了证明，并且第一次得到了4/3这个数。

阿基米德方法是什么，它有何独特、精妙和离经叛道之处呢？这个方法与力学有关，阿基米德在他的头脑中通过称量法找到了抛物线弓形的面积。他把弯曲的弓形区域想象成一个物质对象（我把它想象成一块被精心裁剪成抛物线弓形的薄金属片），然后把它放在一架假想天平的一端。如果你喜欢，也可以想象它被放在一架假想跷跷板的一端。接下来，他要弄清楚如何用三角形（一种他已经知道如何称量的形状）让这架天平达到平衡状态，从而推导出原来的抛物线弓形的面积。

相比我们在前文中讨论的阿基米德的立体主义（三角形碎片）技巧，这是一种更富想象力的方法，因为在这种情况下，他要把一架假想跷跷板引入计算过程，并且保证它的设计与抛物线的尺寸相称。最终，它们将一起产生他要找寻的答案。

他从抛物线弓形着手，通过使其倾斜来确保抛物线的对称轴是垂直的（图2–18）。

然后，他要开始围绕弓形构建跷跷板了。具体方法如下：就像前文中介绍的那样，在抛物线弓形内部画出一个大三角形，并标上ABC，如图2–19所示。和在立体主义证明中一样，这个三角形将再次充当面积标准。抛物线弓形会被拿来与这个三角形做比较，并得出结果：前者的面积是后者面积的4/3。

接下来，将抛物线弓形围在一个大得多的三角形ACD中（图2–20）。

三角形ACD的顶边被选定为在C点与抛物线相切的一条线，底边是线段AC，左侧的边是一条从A点向上延伸的垂直线，与顶边交于D点。利用标准的欧几里得几何，阿基米德证明了外接三角形ACD的面积是内接三角形ABC面积的4倍（这个结论在后文中将变得很重要，我们现在暂且把它放在一边）。

之后，阿基米德构建了跷跷板的其余部分，也就是它的杠杆、两个座位和支点。如图2–21所示，杠杆是连接两个座位的线段，这条线段始于C点，经过B点，从外接三角形ACD上的F点（支点）穿出，然后继续向左延伸至S点（座位）。确定S点的条件是，它到F点的距离与C点到F点的距离相等。换句话说，F点是线段SC的中点。

现在要讲到为整个构思奠定基础的绝妙洞见了。利用关于抛物线和三角形的已知事实，阿基米德证明了只要把外接三角形ACD和抛物线弓形都想象成一条垂直线，就可以使二者平衡。他把它们都看作由无穷多条平行线组成的形状，这些直线就像无限细的板条或肋条。下面要说的是其中一对典型的肋条，它们的位置由一条穿过两个形状的垂直线来确定。在这条线上，一个短肋条将外接三角形ACD的底边和抛物线连接起来，如图2–22所示。

此外，还有一个长肋条将外接三角形ACD的底边与顶边连接起来，如图2–23所示。

阿基米德的惊人洞见是，就像孩子们玩跷跷板一样，只要这些肋条处在适当的位置上，它们就会达到完美的平衡状态。他证明了如果把短肋条滑动到S点，而长肋条的位置保持不变，两者就会达到平衡状态，如图2–24所示。

这个结论适用于所有的垂直线。无论你选取的是哪条垂直线，当你将短肋条滑动到S点而让长肋条待在原地时，两者总能达到平衡状态。

由于每一对肋条都处于平衡状态，所以这两个形状也互相平衡。抛物线弓形的所有肋条最终都被移至S点，它们和外接三角形ACD的所有肋条均达到了平衡状态。由于那些长肋条并没有移动，这意味着全部移至S点的抛物线弓形的质量与待在原地的外接三角形ACD的质量达到了平衡状态。

接下来，阿基米德用一个等效点取代了外接三角形ACD的无穷多个肋条，这个点就是三角形的重心，它扮演了代替物的角色。对跷跷板来说，这就好比外接三角形ACD的全部质量都集中在单一的重心上。阿基米德在其他著作中已经证明，这个点就在线段FC上，而且它到支点F的距离恰好是线段SF长度的1/3。

由于外接三角形ACD的质量到支点的距离是抛物线弓形的质量到支点距离的1/3，为了使两边达到平衡状态，抛物线弓形的质量必须是外接三角形ACD质量的1/3，这就是杠杆定律。因此，抛物线弓形的面积也必定是外接三角形ACD面积的1/3。外接三角形ACD的面积又是内接三角形ABC面积的4倍，阿基米德由此推导出，抛物线弓形的面积必定是内接三角形ABC面积的4/3，这和我们之前通过对三角形碎片的无穷级数求和得到的结果完全相同！

我希望我已经成功地让大家见识了这个论证过程的神奇程度。在这里，阿基米德并不是一个拼接瓷器碎片的陶工，而更像一个屠夫。他把抛物线弓形的组织切分开，每次垂直地切下一条，然后把所有无限细的肉条挂在S点的钩子上。所有肉条的总重量和它们还是一块完整的抛物线弓形肉时相同，只不过阿基米德把原来的那块抛物线弓形肉切分成很多垂直的肉条，然后全部挂在同一个肉钩上（这个画面有点儿怪异，或许我们应该继续用跷跷板来举例）。

我为什么说这种论证方法离经叛道呢？因为它和实无穷“勾连”在一起。在论证过程的其中一步，阿基米德公然地把外接三角形描述为由其内部的“所有平行线组成的形状”。这些平行线或者垂直肋条的无穷性是连续的，毋庸置疑，这犯了希腊数学的大忌。他公然地将三角形看作肋条的实无穷形式，他在这样做的同时，也将怪物放出了笼子。

同样地，他把抛物线弓形描述为“由曲线内的所有平行线组成的形状”。根据他的估计，贸然使用实无穷会使这个推理过程沦为一种寻找答案的启发式方法，而不是关于其正确性的证明。在给埃拉托色尼的信中，他低调地称自己的方法只是表明结论正确的“某种迹象”。

无论阿基米德方法的逻辑地位如何，它都具有一种“合众为一”的特性。无穷多条直线组成了有面积的抛物线弓形，阿基米德把这个面积看作质量，并逐一地把这些直线移至跷跷板最左侧的座位上。就这样，直线的无穷性由集中在单一点上的单一质量表示出来，“一”取代了“多”，并且完美如实地代表了“多”。

在跷跷板右侧起平衡作用的外接三角形也是一样。阿基米德从它的垂直线连续体中选出一个点——重心来代表整体。无穷坍缩成一体，这就是所谓的“合众为一”。只不过这既不是诗歌，也不是政治，而是积分学的开端。从某种意义（阿基米德无法进行十分严谨的论证）上说，三角形和抛物线弓形显然不可思议地等同于无穷多条垂直线。

尽管阿基米德因为轻率地使用了无穷而略感尴尬，但他勇敢地承认了这一点。任何想要测量曲线形状（边界长度、面积或者体积）的人，都必须尽力应对无穷小部分的无穷级数和的极限问题。谨慎的人可能会试图回避这种必然性，而利用穷竭法进行细致的处理，但其实也摆脱不了无穷。研究曲线形状就意味着要以这种或那种方式去应对无穷，阿基米德对此持开放态度。在必要的时候，他会将自己的证明过程好好装扮一番，故意展示出有限和与穷竭法。但私下里，他百无禁忌。他承认在自己的脑海中称量形状，想象出杠杆和重心，每次取一个无限小的部分——一条垂直线，逐一地实现形状和质量的平衡。

阿基米德还用这种方法解决了与曲线形状有关的其他许多问题，比如，他发现了实心半球、抛物面及部分椭球面和双曲面的重心。他非常喜欢一个与球体表面积和体积有关的结论，以至于他要求将其镌刻在他的墓碑上。

假设一个球体被严丝合缝地放在一个圆柱形帽盒里，如图2–25所示。

阿基米德发现，球体占据了封闭帽盒容积的2/3，它的表面积也是帽盒的2/3（假设帽盒的上下盖子也被计入表面积）。注意，他并没有给出球体的体积或表面积公式，而是用比例来表述他的结论。这是典型的希腊风格，即一切都可以用比例来表达。用一个面积同另一个面积做比较，用一个体积同另一个体积做比较。而且，当它们的比率涉及小的整数时，比如本例中的3和2，以及抛物线弓形面积中的4和3，阿基米德就一定会欣喜不已。毕竟，3:2和4:3之类的比率对古希腊人来说具有特殊的意义，因为它们在毕达哥拉斯的音乐和谐论中起到了核心作用。回想一下，有两根除长度之比为3:2以外其他地方完全相同的琴弦，当我们弹拨它们时，两者的音高相差五度，听起来十分和谐。同样地，如果两根琴弦的长度之比为4:3，它们的音高就会相差四度。和声与几何学之间的这些数值巧合，必定会让阿基米德十分欢喜。

我们从阿基米德的论著《论球与圆柱》中就能感受到他的高兴程度，“这些一直是图形与生俱来的特性，只是那些在我之前从事几何研究的人还不知道罢了。”让我们抛开他的自负语气，而把注意力放在他的主张上，即“这些一直是图形与生俱来的特性，只是人们还不知道罢了”。在这里，他表达的是所有数学工作者都非常珍视的一种独特的数学哲学。我们感觉自己正在发现数学，结果就在那里等着我们；它们自始至终都是图形的固有属性，而非我们的发明创造。与鲍勃·迪伦或托妮·莫里森创作出前所未有的音乐或小说不同，我们不过是在发现已然存在的事实，而且这些事实都是我们的研究对象的固有属性。虽然我们也拥有创造研究对象的自由，可以构建理想化的形状（比如完美的球体、圆和圆柱体），但一旦被创造出来，它们就拥有了自己的生命。

当我读到阿基米德在揭开球体表面积和体积之谜后表达他的喜悦之情的语句时，我仿佛产生了和他一样的感受。或者更确切地说，他产生了跟所有数学工作者（包括我和我的同行）一样的感受。虽然有人告诉我们过去是一个不同的世界，但它并非完全不同于现在。我们在《荷马史诗》和《圣经》中读到的人物就和我们有诸多相似之处，古代的数学家似乎亦如此，至少唯一允许我们进入他内心深处的阿基米德是这样的。

22个世纪之前，阿基米德给他的朋友、亚历山大图书馆馆长埃拉托色尼写信，其实是想传递一则装在瓶中的数学信息，尽管当时几乎无人能理解这则信息，但阿基米德还是希望它能以某种方式安然地穿越时间之海。阿基米德分享了他的方法，希望未来的几代数学家能利用它“找到我们尚未掌握的其他定理”。但是，天不遂人愿，时间的破坏力一如既往地残酷。帝国衰落，图书馆付之一炬，手稿也化为灰烬。据说，关于阿基米德方法的所有手抄本都未能挨过中世纪。尽管列奥纳多·达·芬奇、伽利略、牛顿和文艺复兴及科学革命时期的其他天才，都认真钻研过留存下来的阿基米德论著，但他们从未见过阿基米德方法。因此，人们认为它永远地失落了。

但是，它又奇迹般地被发现了。

1998年10月，一本破旧的中世纪祈祷书在佳士得拍卖行参与竞拍，最终被一位匿名的私人收藏家以220万美元的价格拍下。在它的拉丁祈祷文之下，依稀可见模糊的几何图形和用10世纪的希腊文写下的数学文本。这本书是重写本：在13世纪，它的羊皮纸手卷被清洗过，擦去原先的希腊文，并重写上拉丁语的礼拜式文本。幸运的是，它上面的希腊文并未被完全清除，残留的文本中就包含了阿基米德方法的仅存手抄本。

我们现在已经知道，阿基米德重写本最早发现于1899年，在君士坦丁堡的一个希腊东正教会图书馆里。在伯利恒附近的圣撒巴修道院的一本祈祷书里，它神不知鬼不觉地度过了文艺复兴和科学革命时期。它现在被保存在巴尔的摩的沃尔特艺术博物馆里，人们利用最新的成像技术对它进行了精心的修复和检查。