2.1 混凝土非稳定温度场计算理论

2.1.1 控制方程

混凝土导热性能很低，在自身水化放热过程中，混凝土主要是通过表面热传导和辐射与外界进行热量交换，热传导是物体进行热量交换的主要方式。热流量是一定面积的物体两侧存在单位温差时，单位时间内由传导、对流、辐射方式通过该物体所传递的热量。通过物体的热流量与两侧温度差成正比，与厚度成反比，且与材料的导热性能有关。单位面积的热流量为热流通量。稳态导热通过物体的热流通量不随时间改变，其内部不存在热量的蓄积；非稳态导热通过物体的热流通量与内部温度分布随时间而变化。

如图2.1所示，从混凝土内部取出一无限小的六面体dxdydz，在单位时间内沿x轴方向从左边界dydz流入的热量为q_xdydz，流出热量为q_x+dxdydz，则单位时间内x方向的净热量为^［3］

图2.1 微元体热量示意图

在混凝土热传导过程中，热流量q（单位时间内通过单位面积的热量）的绝对值与温度梯度∂T/∂x的绝对值成正比，但由于热量总是由温度高的地方向低的地方传递，即热流方向与温度梯度方向相反，即

式中：k为导热系数。

很显然，热流量q是x的函数，则将q_x+dx沿x方向按泰勒级数展开，则

取展开式的前两项，得

则x方向流入的净热量为

同理

混凝土中掺有水泥，由于水泥水化热作用，假定单位体积混凝土在单位时间内水泥水化反应放出的热量为Q_θ，则在六面体dxdydz在单位时间内释放的热量为Q_θdxdydz。

同时在dτ时间内，混凝土六面体由于温度升高而吸收的热量为

式中：c为比热；ρ为密度；τ为时间。

则时间dτ内，混凝土块dxdydz内总热交换为

由热量的平衡，物体从外面流入的热量与自身水化反应产生的热量等于物体温度升高所需的热量，即Q=，也即是

经简化

式中：a为导温系数。

根据式（2.11），绝热温升条件下，即六面体与周围环境没有热量交换，a=0。则式（2.11）可简化为

式中：θ为混凝土的绝热温升值。

将式（2.12）代入式（2.11）中，则混凝土六面体的热传导方程可写为^［13］

已知第i批浇筑的混凝土R_i的浇筑温度为，浇筑时间为，R_i相应的初始条件为

对于施工运行期的任一时刻t，若，则已浇筑的混凝土空间为

边界条件通常由三部分组成：

为第一类边界条件，边界的温度为已知，即

式中：T_s为给定温度，可以表示已知气温、地温或水温。

第二类边界条件为绝热边界，边界条件为

第三类边界条件指边界单位面积上的散热量与内外温差成比例，边界条件为

式中：λ为导热系数，kJ/（m·h·℃）；T_a（t）为气温，℃；β为表面热交换系数，kJ/（m²·h·℃），一般情况下，β是外表面属性及时间的函数。

2.1.2 温度场的有限元计算

计算过程任意时刻t温度场的计算取以下泛函：

将区域R_t划分为有限个单元，则

每个单元内任一点的温度可以用该单元结点温度表示为

将式 （2.23）代入式 （2.20），由泛函的驻值条件可得温度场求解的递推方程组，向后差分为

在式（2.29）和式（2.32）中：

式 （2.28）、式 （2.30）和式 （2.31）中的计算公式为

式（2.28）～式（2.36）各系数计算均采用高斯积分法。对8节点六面体单元，每个坐标方向取两个积分点，积分点坐标为，权系数H_i=1.0；对6节点五面体单元，沿ζ坐标方向取两个积分点，积分点坐标为，权系数H_i=1.0。沿ξ、η方向由于积分区间为 [0，1]，故每个坐标方向只取一个积分点，坐标为1/3，权系数H_i=0.5。

准稳定温度场计算同样可按式（2.24），只是令荷载列阵F_i=0。

若令式（2.24）中R_i=0，F_i=0及g_i=0，则式（2.24）就成为稳定温度场的求解方程：

在得到方程 （2.37）后，还需采用乘大数法考虑第一类边界上的边界条件。