1.2　均匀介质中的波动方程

承受振动的各种物理体系，均可归纳为同样的运动方程，称为“波动方程”，可用偏微分方程表达如下：

或写成：

式中：u为介质质点沿x轴向位移；t为时间；v为波速；为拉普拉斯算符。

能用波动方程表达的体系有弦振动、杆件振动等。不同边界条件下，固体介质中的波的传播速度是不同的。为推导波速的表达式，通常情况下，首先从理论上求解出其通解，然后根据附加边界条件，求得特解。为便于理解和启发性，先从最简单的一维有界介质的波动方程求解开始。

1.2.1　一维杆系的纵横波波速

1.纵波波速

假设杆件截面为A，杨氏模量为E，容重γ。杆件在运动中满足平面截面条件，且截面上应力平均分布。取单元dx，在x处横向平面上的应力为σx，则在x+dx处横向平面上的应力为，设u代表单元在x方向上的位移，如图1.3所示。

根据牛顿第二运动定律，其运动方程为

化简得

已知密度，由一维杆件的胡克定律可知：

式（1.5）改写为

整理得

令，可得

与式（1.4）相比较：，则有

式（1.7）表明：波在一维杆件中的传播速度为，由于质点的质点振动方向与波的传播方向一致，其结果是质点受到单向压缩或拉伸变形，故称纵波，又称拉伸波或压缩波，简称P波（pressure wave）。速度是从波在杆件的传播中推导获得的，亦称其为巴（bar）速度，即棒波速度。

2.横波速度

设作用于杆件横截面上的扭矩为T，转角为θ，如图1.4所示，其产生的力矩可写为

式（1.8）中：G为剪切模量；IP为截面惯性矩；为单位长度的扭角。

杆件单元长度dx的转动惯性的扭矩T为

根据牛顿第二定律和图1.4的单元的受力情况，可建立下述关系：

将式（1.8）代入式（1.9），有

与波动方程式（1.4）相比较，有

令，则有

因为杆件受到的是横向扭力，质点位移的平面与x轴垂直，即与波的传播方向垂直，其结果是杆件截面质点扭剪变形，形成的波为横波，又称剪力波、扭剪波，简称S波（shear wave）。它是以速度在杆件中传播。

从式（1.11）和式（1.7）可以看出，纵波和横波传播速度公式的形式相同，只是横波传播速度公式中用剪切模量G代替了纵波传播公式中的杨氏模量E。

1.2.2　无限介质中的纵横波波速

弹性杆件中波的运动可用波动方程来表示，波动意义可以通过数学表达式联系起来。对于各向同性无限均匀弹性介质的物理意义也可利用弹性理论和数学关系建立波动方程。

单元体每一面上的应力用正交矢量组表示，如图1.5所示，单元的静力平衡可用平行于各轴线方向的力之和来表示。x方向的平衡方程为

同理，y方向和z方向也可写成类似x方向的力平衡方程。在x方向上，不考虑体积力的影响，由牛顿第二运动定律，可得

u为x方向的位移，对于y方向和z方向也可写出类似式（1.13）的方程，可得到三个用应力表示的运动方程：

式中：u、v、w分别为x、y、z方向的位移。

为了将式（1.14）右边也用位移来表示，借助弹性介质的下述关系：

式中：μ为泊松比；λ为拉梅常数；G为剪切模量或刚性模量；为三个坐标轴方向的三个线应变的代数和。

为了将应变用转动位移来表示，还需利用下述关系：

式中：是围绕每个轴的转动，将式（1.15）、式（1.16）中适当的关系代入式（1.14），得

即

同理可得

式（1.17）为无限均匀各向同性弹性介质波动方程的一般形式。

此运动方程有两个解：一个是描述体积膨胀波（等体积波）的传播；另一个是描述纯转动波的传播。方程式（1.17a）、式（1.17b）和式（1.17c）分别对x、y、z微分：

叠加得

令，代入式（1.19），可得

由此可知：质点振动方向与波的传播方向一致，在介质内部造成体积的膨胀或压缩，形成“纵振动”，故称纵波、压缩波、膨胀波、拉伸波或无旋转波，简称P波（pressure wave或primary wave），弹性波在无限介质中是以速度vP=传播的。由于λ=K-，代入式（1.21）中，可得

式中：K为体积压缩模量；G为剪切模量。

因此，纵波在无限均匀同向介质传播时，介质承受的不仅是简单的压缩力，而是压缩力和剪切力的组合。

式（1.17b）对变量Z微分，式（1.17c）对变量Y微分，得

两式相减，得绕X轴转动的的表达式：

即

同理，可得的表达式：

式（1.22）～式（1.25）中，和分别表示绕X、Y和Z轴的转动变量，可得

由此可知：质点振动方向与波的传播方向垂直，介质质点产生角转动位移和剪切变形，构成旋转运动，产生的波为横波、剪切波、亦称扭剪波或畸变波，简称S波（shear wave或second wave）。横波是以速度vS=在无限均匀同向介质中传播。

在无限均匀同向介质中传播的波为纵波（P）和横波（S）两种波统称为体波。当介质存在分界面时，在分界面附近才会产生其他类型波的传播，如半无限介面上的瑞利面波和板状介质中的兰姆面波等。

波速是介质密度ρ、弹性常数（弹性模量E和剪切模量G）的函数。借助弹性常数关系式：

则有

泊松比μ决定纵波和横波波速的比值，对接近均匀各向同性的岩石来说，如取μ=0.25，则有

由式（1.27）～式（1.29）可推导出以波速（vP、vS）为自变量，以弹性模量E、剪切模量G和泊松比μ为因变量的数学表达式：

由此可以知道，在边界条件已知情况下，可根据岩体和混凝土等非金属介质中传播的波速vP和vS，可以求解介质力学参数，如弹性模量E、剪切模量G和泊松比μ。