2.1 力在坐标轴上的投影与合力投影定理

2.1.1 力的投影

1.力在平面上的投影是矢量

如图2.1(a)所示，力F在平面xOy上的投影F_xy仍为矢量，其模为

2.力在轴上的投影是标量

如图2.1(a)所示，将F_xy向x轴投影，得有向线段F_x，由矢量在轴上投影的定义可知，F_x为力F在x轴上的投影。由此可得力在轴上投影的如下两种方法：

(1)直接投影法。若已知力F与x轴正方向的夹角α，则

(2)两次投影法。若已知力F与轴所在平面的夹角φ，且此力在平面上的投影与x轴夹角为θ，则

如图2.1(b)所示，力F作用在棱长为2，3，4的长方体顶面上，则F在x、y、z三个坐标轴上的投影分别为

在直角坐标系中

式中：i、j、k为相应坐标轴正方向的单位矢量。

图2.1（b）中

力在某轴上的投影也可表示为力与该轴单位矢量的标积，如F_x=F·i，F_x为标量，当力与投影轴间夹角为锐角时，其值为正；当夹角为钝角时，其值为负。

力F沿三轴分解的分力，为矢量。力的投影不一定等于力的分力大小如图2.2（a）、（b）所示。

只有在直角坐标系中，力在轴上的投影等于力的分力大小。

2.1.2 合力投影定理

在物理中，学习过平面汇交力系合成的几何法，也就是用力多边形求合力的方法，如图2.3 （a）所示，F₁、F₂、F₃、F₄汇交于O，则将这四个力首尾相接构成一折线ABC-DE，连接的矢量即为合力F_R，如图2.3 （b）所示。将力多边形投影到x轴上，则

ae=ab+bc+cd-de

根据投影的定义，上式左端为合力F_R的投影，右端为四个分力投影的代数和，即合力在某轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

这就是合力投影定理。

在直角坐标系中，有