![工程力学(Ⅱ)(第2版)](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/826/40936826/b_40936826.jpg)
3.4 圆轴扭转时的应力和变形
3.4.1 圆轴扭转时横截面上的应力
在已知圆轴横截面上的扭矩后,应进一步研究横截面上的应力分布规律,以便求出整个截面的最大应力。要解决这一问题,须联合应用下列三个关系,即:根据变形现象找出变形几何关系;利用物理关系找出应力分布规律;利用静力学关系,导出应力计算公式。
1.变形几何关系
为观察实心圆轴的扭转变形,与薄壁圆筒受扭一样,在圆轴表面上做圆周线和纵向线[在图3.9(a)中,变形前的纵向线由虚线表示]。在扭转力偶矩Me作用下,得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象。即:各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度,但大小、形状和相邻圆周线间的距离不变。在小变形的情况下,纵向线仍近似地是一条直线,只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的方格,变形后错动成菱形。
根据观察到的现象,做下述基本假设:圆轴扭转变形前原为平面的截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线,且相邻两截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。按照这一假设,扭转变形中,圆轴的横截面就像刚性平面一样,绕轴线旋转了一个角度。以平面假设为基础导出的应力和变形计算公式,符合试验结果,且与弹性力学一致,这说明假设是合理的。
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_56_5.jpg?sign=1738869575-RtG8IjZ89f2laqyPuYXsFIsrFpfbsFdh-0-8af502f8dc500de7169084a01426427e)
图3.9
在图3.9(a)中,φ表示圆轴两端截面的相对转角,称为扭转角,其单位为rad。用相邻的横截面p—p和q—q从轴中取出长为dx的微段,并放大为图3.9(b)。若截面p—p和q—q的相对转角为dφ,则根据平面假设,横截面q—q像刚性平面一样,相对于p—p绕轴线旋转了一个角度dφ,半径Oa转到了Oa′。于是,表面方格abcd的ab边相对于cd边发生了微小的错动,错动的距离是
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_57_1.jpg?sign=1738869575-Uz4Ng9mc4c99FlcZu18vs2KgobMenEds-0-1e14390240699991cc23b8ed112a676d)
因而引起原为直角的∠abc角度发生改变,改变量
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_57_2.jpg?sign=1738869575-4a5HCES5w8aJcFU6zVvqctsJR51NvK4Q-0-7429de9ce0fb5f27c9fc65f4f3859db1)
即为圆轴截面边缘上a点的切应变。显然,γ发生在垂直于半径Oa的平面内。
根据变形后横截面仍为平面,半径仍为直线的假设,用相同的方法,并参考图3.9(c),可以求得距圆心为ρ处的切应变为
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_57_3.jpg?sign=1738869575-21DdI20tjeWgIHV9bl4HWj31vR9DqJlo-0-166db35b4d25e0bf449c4008d6875ae6)
与式(a)中的γ一样,γρ也发生在垂直于半径Oa的平面内。在式(3.7)和式(3.8)中,是扭转角φ沿x轴的变化率,又称为单位长度扭转角。对一个给定的截面来说,它是常量。故式 (3.8)表明,横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。
2.物理关系
以τρ表示横截面上距圆心为ρ处的切应力,由剪切胡克定律知
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_57_5.jpg?sign=1738869575-8kflZBrakMaFGLv6TObn0P3DLn4d5m25-0-5256ec57572c2db43aa446f1a8f3c15b)
将式(3.8)代入式(3.9)得
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_57_6.jpg?sign=1738869575-mFJAnilnlluRe58sgMlH8pP4NAjWcVzc-0-7ec5c390ba79b8877f8cb03d6dd47743)
这表明,横截面上任意点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。因为γρ发生在垂直于半径的平面内,所以τρ也与半径垂直,如再注意到切应力互等定理,则在纵向截面和横截面上,沿半径切应力的分布如图3.10所示。
因为式 (3.10)中的单位长度扭转角尚未求出,所以仍不能用它计算切应力,这就要用静力关系来解决。
3.静力关系
图3.11的横截面内,按极坐标取微面积dA=ρdθdρ。dA上的微内力为τρdA,对圆心的力矩为ρτρdA。积分得横截面上内力系对圆心的力矩为dA。可见,这里求出的内力系对圆心的力矩就是截面上的扭矩,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_57_9.jpg?sign=1738869575-XSmGHGwRyrWkNxI1lpuxDCeVOrpjzBkb-0-3de33fc46bcae8c5213398e52702f1c5)
图3.10
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_1.jpg?sign=1738869575-vwGYJwKxN1nGW5GkMx7APVZ7IMAIN8dC-0-330d87f1ddaf9d19a804cb2e3e67ee44)
图3.11
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_2.jpg?sign=1738869575-BmSQh73gxFxfKU3NiQQjcic43Psd9QAx-0-03bb8cc4f71dde62a4a80b8180d52e67)
将式(3.10)代入式(3.11),并注意到在给定的截面上,为常量,于是有
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_4.jpg?sign=1738869575-ofGx1BC7cL76J0viN1Zk6RuLZe0fqXgZ-0-20efac9d4f3ddef48f4f8e2663d15a69)
以Ip表示上式中的积分,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_5.jpg?sign=1738869575-bd5pz7bAKV1YPdGSFJhefHp0qdLjlxXf-0-36ad4382cd0a9fd5e9ef42e1801fd62a)
Ip称为横截面对圆心O点的极惯性矩。这样,式(3.12)便可写成
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_6.jpg?sign=1738869575-iNy7TMKhN7CjowUi6KLOu56I6kI5xzWN-0-368d8deb46738e5df75bdcfd26e054b4)
从式 (3.10)和式 (3.14)中消去,得
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_8.jpg?sign=1738869575-k79Fndsr9NrEzWxgGNNrDaWX7X8xaFxN-0-91bbbdd126c61f55987f0bf2bf1d1ed1)
由以上公式,可以算出横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力。
在圆截面边缘上,ρ为最大值R,得最大切应力为
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_9.jpg?sign=1738869575-w7v6HfhAXKkoZENB8mw5Q3ZkuDWqAgvC-0-6dce613d53a350d82d73223ba753e3e1)
引用记号
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_10.jpg?sign=1738869575-w1uDdwxLxiGfLh475JhoNvZpbcPvOcrw-0-4735e64262e74c82df058e35e8b4b3b5)
Wt称为抗扭截面系数,便可把式(3.16)写成
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_11.jpg?sign=1738869575-0JIGyKu4eR9pjVwiDPlS4AYI6KZ9QRtE-0-cf76829bf16d9d3442c08328275c9b8a)
以上诸式是以平面假设为基础导出的。试验结果表明,只有对横截面不变的圆轴,平面假设才是正确的,所以这些公式只适用于等直圆杆。对圆截面沿轴线变化缓慢的小锥度锥形杆,也可近似地用这些公式计算。此外,导出以上诸式时使用了胡克定律,因而只适用于τmax低于剪切比例极限的情况。
3.4.2 常见截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wt的计算
直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数,见图3.12。
取微面积dA=ρdθdρ,代入到式(3.13)中,得到极惯性矩,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_12.jpg?sign=1738869575-IL2h7TvNnK16s92mnpKsxJyD3xiyKcXm-0-32966a08eeee3670fc86bec48a754455)
把式3.19代入到式(3.17)中得到抗扭截面系数为
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_58_13.jpg?sign=1738869575-Bo10iD3VmjmFxNFSGHUUfx3mZgX8UEU4-0-098b39d3ebffe17efc38bc2ab8688214)
对于如图3.13所示的空心圆截面,用相同的的方法可以求出其极惯性矩和抗扭截面系数:
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_59_1.jpg?sign=1738869575-17qr0cngiIsRRH8smGI2tXrxr0tBaIJr-0-9b4b62b3063c4a5277d31e4b04a27100)
其中,α是内径与外径之比,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_59_2.jpg?sign=1738869575-hKUDeXgjYXk50oZp08yOK7HHP9qsKx3q-0-ad43e7d577552e909e2729eedeb3afaa)
空心圆截面上的切应力分布如图3.14所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_59_3.jpg?sign=1738869575-NxU736mVkGJYDj7Cl8P0zH2wdSaorZQA-0-8e9f11147265d951b9e1befe76af9b9d)
图3.12
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_59_4.jpg?sign=1738869575-4Uzn4kWEqFrkPp3AYlZcOrvs5C96Otez-0-4682a11dc052ccf8d6a427219ad405de)
图3.13
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_59_5.jpg?sign=1738869575-75XGlO5pVoChYYgbRGGxLEyG1Bu6wpbP-0-1f408684fadb412244d6b5c35fab73c0)
图3.14
【例3.2】 如图3.15(a)所示的一端固定的阶梯圆轴,受到外力偶M1和M2的作用,M1=1800N·m,M2=1200N·m。求固定端截面上ρ=25mm处的切应力,以及轴内的最大切应力。
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_59_6.jpg?sign=1738869575-dFhFhG7tdx1N7y8TbcsvfRxSmR52M4ky-0-c0155efceb7d478f5c3cbda80f62cb86)
图3.15
解:(1)画扭矩图。用截面法求阶梯圆轴的内力并画出扭矩图[图3.15(b)]。
(2)求固定端截面上指定点的切应力。
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_59_7.jpg?sign=1738869575-5FfQO2aq80HCFpxT2OLOBHeflEuMXOgO-0-337e42bb62a871ba86b0cffa45153029)
(3)求最大切应力。分别求出粗段和细段内的最大切应力:
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_59_8.jpg?sign=1738869575-M7GQaF9MNIZ36LhZUpLfTv4IANAUOVSl-0-bf30fb9e7f51af1362bc0c138bdbd90a)
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_60_1.jpg?sign=1738869575-BbuFcCrqbwD44slFJA4qaBSu39f3Rixl-0-925e962ba1d2e51f6cbec08f6c754ede)
比较后得到圆轴内的最大切应力发生在细段内:
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_60_2.jpg?sign=1738869575-YJTC1wnd103frdiwEYUb2l0LqJ0n578S-0-fb54e1969e40fba85af29912b5df31a9)
由此可知,直径对切应力的影响比扭矩对切应力的影响要大,所以在阶梯圆轴的扭转变形中,直径较小的截面上往往发生较大的切应力。