3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁

3.4.1 弹性地基梁的分类

在工程实践中，经过计算比较及分析表明，梁的变形与内力和梁的换算长度λ=αl的值有密切关系，λ的大小决定于地基梁的相对刚度。由于按式（3-3-42）计算工程中遇到的各种类型地基梁，其计算太复杂，因而工程上常常按照弹性地基梁的不同换算长度λ将地基梁进行分类，然后分别采用不同的方法进行简化。通常将梁分为三类。

（1）刚性梁（图3-4-1（a））。

当换算长度λ=αl≤1.0时，属于刚性梁。这时，弹性地基梁的刚度与地基相比大很多，地基反力可假定为直线分布进行计算。

（2）短梁（图3-4-1（b））。

当弹性地基梁的换算长度1.0<λ<2.75时，属于短梁，其计算式见式（3-3-42），它是弹性地基梁的一般情况。

（3）长梁。

1）无限长梁（图3-4-1（c））。当荷载作用点距梁两端的换算长度均不小于2.75时，可忽略该荷载对梁端的影响，这类弹性地基梁称为无限长梁。

2）半无限长梁（图3-4-1（d））。当荷载作用点仅距梁一端的换算长度不小于2.75时，可忽略该荷载对这一端的影响，而对另一端的影响不能忽略，这类弹性地基梁称为半无限长梁。

图3-4-1 弹性地基梁的分类

3.4.2 无限长梁

图3-4-1（c）所示为基础无限长梁，因梁及荷载均为对称，故只研究集中荷载作用点以右的部分。这部分梁上没有其他荷载，梁的挠度曲线方程即为式（3-3-17），即

当x趋近于∞时，梁的y值应趋近于零。若满足这个条件，式（3-4-1）中的常数A1和A2必须等于零；否则，当x趋近于∞时，eαx亦趋近于∞，则y不可能趋近于零。根据这一关系，式（3-4-1）变为

再确定常数A3与A4，依据式（3-3-6）求y的各阶导数，得

在荷载作用点应有

代入式（3-4-3），得

注意式（3-3-8），解出

将A3及A4代入式（3-4-2）和式（3-4-3）中，得

引入以下符号，即

因此，式（3-4-7）变为

式（3-4-9）就是计算无限长梁的方程，其中函数φ5～φ8之间有下列关系，即

用式（3-4-9）计算图3-4-2所示的无限长梁，求出地基反力σ、θ、M和Q的曲线如图3-4-2所示。距离荷载P越远则σ、θ、M和Q越小。计算证明，与荷载P的作用点距离为αx=2.75处，荷载的影响很小。因此，给出以下的规定：当αx≥2.75时即可按无限长梁计算。

图3-4-2 无限长梁地基反力的计算结果

图3-4-3 半无限长梁计算简图

3.4.3 半无限长梁

图3-4-3所示为一半无限长梁，在坐标原点作用集中力Q0和力矩M0。半无限长梁的计算原理与无限长梁相同，只是式（3-4-2）中的常数A3及A4须根据梁左端的边界条件更新确定。梁左端的边界条件为

代入式（3-4-3），得

解出

将A3和A4代入式（3-4-2）与式（3-4-3）中，得

在式（3-4-14）中引用式（3-4-8），并注意式（3-3-8），式（3-4-14）可化简为

3.4.4 刚性梁

如图3-4-4所示的刚性梁，梁宽b=1，梁端作用有初参数y0和θ0，并有梯形分布的荷载作用，显然，地基反力也呈梯形分布，按静定梁的平衡条件，可得刚性梁的变形与内力为

图3-4-4 刚性梁的计算

图3-4-5 两端自由弹性地基梁受载计算简图

3.4.5 例题

例3.1 如图3-4-5所示，位移两端自由的弹性地基梁，长度l=4m，宽度b=0.2m，EI=1333kN·m2。地基的弹性压缩系数K=4×104kN/m3。求梁1和2截面的弯矩。

解 （1）判断梁的类型。

因梁宽b=0.2m，

由式（3-3-8）求出梁的弹性特征系数为

（2）确定初参数y0、θ0、M0和Q0。

由梁左端的边界条件：

由梁右端的边界条件：

因梁上作用着一段均布荷载q0，将式（3-3-35）叠加到式（3-4-1）中。式中：x1=3m，x3=0，x4=2m。

计算双曲线三角函数，见表3-4-1。

将α、K值和表3-4-1相应的φ值代入以上两式中，得

解出

y 0=2.47×10-3(m)

θ 0=-1.188×10-4(rad)

至此，以上4个初参数y0、θ0、M0和Q0已经求得。

（3）计算截面的弯矩。

将式（3-3-35）叠加到式（3-3-42）中，集中荷载P的附加项对截面1和2的弯矩没有影响，并注意x3=0，由此，则得

1）截面1的弯矩。截面1距坐标原点x=1m，在均布荷载范围以内，故x4应等于x，因此，则有

2）截面2的弯矩。截面2在均布荷载范围以外，故x4=2m，x=3m，则有