工作任务三 恒定总流的能量方程

液体和其他任何物体一样，在重力作用下作机械运动时，都遵守能量守恒和转化定律，即物体的动能和势能可以相互转化；同时运动过程中，部分机械能也可能转化为热能消失，但不论能量怎么转化，其总和均不变。只是液体在做机械运动时，除位置势能和动能外，还有压力势能存在。

下面将讨论反映能量守恒和转化定律的恒定总流能量方程。

一、公式推导

（一）微小流束的能量方程

如图2-11所示，在恒定总流中选取断面1—1与断面2—2之间的水体作为研究对象，并从中取一微小流束来研究。设微小流束的过水断面1—1与过水断面2—2的面积分别为dA₁和dA₂，相应的流速为u₁和u₂，两断面形心点的位置高度分别为z₁和z₂，动水压强分别为p₁和p₂。对于微小流束，过水断面上各点的流速和动水压强可认为是相等的。假设经过dt时间后，微小流束由原来的1—2位置移动到了1′—2′，则断面1—1与断面2—2所移动的距离分别是：

dl₁=u₁dt

dl₂=u₂dt

因研究的水流为恒定流，1′—2段水体的形状、体积和位置等都不随时间发生变化。所以，研究微小流束从1—2位置移动到了1′—2′位置时，只需研究微小流束从1—1′段移动到2—2′段的运动就可以了。由物理学动能定理可知：运动物体动能的增量等于同一时段内作用于运动物体上所有外力对物体所做功的代数和。所以，需研究微小流束动能的增量和外力所做的功。

1.动能的增加

根据质量守恒原理，流段2—2′与流段1—1′的质量相等，即

故该微小流束动能的增量为：

2.外力所做的功

对微小流束做功的力共有三个，分别为：动水压力、重力和微小流束在运动过程中所受到的摩擦阻力。

（1）动水压力做功。

作用于微小流束上的动水压力有两端过水断面上的动水压力和微小流束侧表面上的动水压力。由于微小流束侧表面上的动水压力与水流运动方向垂直，所以不做功。

作用在断面1—1的动水压力p₁dA₁与水流运动方向相同，做正功；作用在断面2—2的动水压力p₂dA₂与水流运动方向相反，做负功。则动水压力所做的功为：

p₁dA₁dl₁-p₂dA₂dl₂=p₁dA₁u₁dt-p₂dA₂u₂dt=dQdt（p₁-p₂）

（2）重力做功。

微小流束段1—1′和2—2′的位置高差为z₁-z₂，重力所做的功为：

G（z₁-z₂）=γV（z₁-z₂）=γdQdt（z₁-z₂）

（3）阻力做功。

对于实际液体，由于黏滞性的存在，液体运动时必须克服内摩擦阻力，消耗一部分能量。阻力所做的功为负功。设阻力对单位重量液体所做的功为h′_w，微小流束从1—1′段移动到2—2′段阻力所做的功为：

-γdQdth′_w

外力对微小流束所做的功应是以上三个外力做功的代数和，即

γdQdt（z₁-z₂）+dQdt（p₁-p₂）-γdQdth′_w

根据动能定理得：

将公式两边同时除以γdQdt，并整理得：

上式就是恒定流微小流束的能量方程。该方程是瑞士科学家伯努利（Bernoulli）于1738年最先提出的，故又称为恒定流微小流束的伯努利方程。

（二）恒定总流的能量方程

在实际工作中，我们一般研究总流而非微小流束。将微小流束的能量方程对总流的过水断面进行积分，可推导出恒定总流的能量方程。

若通过微小流束过水断面的流量为dQ，则单位时间内通过微小流束过水断面的液体重量为γdQ。将微小流束的能量方程各项分别乘以γdQ，同时进行积分得：

上式可整理为：

上式有三种积分形式，现分别进行讨论。

1.势能类积分

如总流的过水断面为均匀流或渐变流，则断面上各点的单位势能相等，即2.动能类积分

在实际水流中，流速在过水断面上的分布是不均匀的，而且其分布规律很难确定，所以直接对该项进行积分有难度。如果用断面平均流速v代替断面上各点的流速u来表示动能，即用来代替，则可方便地进行积分计算。

因为v是断面上各点流速u的平均值，u³&gt；v³，在此引入动能修正系数α，且令常数，则，则

需要说明的是，动能修正系数α值取决于总流过水断面上流速分布情况，流速分布越均匀，α值越接近1。当水流为渐变流时，一般取α=1.05～1.1。实际工程中为计算方便，常取α=1.0。

3.能量损失类积分

h′_w是单位重量水体从1—1断面移动到2—2断面的能量损失，但各微小流束中单位重量水体的能量损失并不相等。设h_w为总流单位重量液体在这两个断面间的各微小流束中的平均机械能损失，则

这样就可将式（2-1）变形为：

将上式各项均除以γQ，得

上述各式中 z——总流过水断面上单位重量液体具有的单位位能，几何上称位置高度或位置水头；

——总流过水断面上单位重量液体具有的单位压能，几何上称测压管高度或压强水头；

——总流过水断面上单位重量液体具有的单位势能，几何上称为测压管水头；

——总流过水断面上单位重量液体具有的单位动能，几何上称为流速水头；

——总流过水断面上单位重量液体的总能量，几何上称为总水头；

h_w——总流单位重量液体从一个过水断面流到另一个过水断面克服水流阻力所做的功，即机械损失，几何上称为水头损失。

上式即为不可压缩液体恒定总流的能量方程。

恒定总流的能量方程反映了恒定水流在流动过程中，各种机械能发生转化时所具有的共同规律：水从任一渐变流断面流到另一渐变流断面的过程中，它所具有的机械能的形式可相互转化，但沿流程前一断面水流具有的单位总能量一定等于后一断面水流的单位总能量加上两断面之间的单位能量损失。

二、能量方程的图示——水头线

恒定总流的能量方程中各项都具有长度的量纲，为更加形象地反映总流沿程各种能量的变化规律及相互影响，可把能量方程用图形描绘出来。

如图2-12所示，在实际液体恒定总流中取一个流段，选0—0为基准面，以水头为纵坐标，按一定比例把沿程各过水断面的z、、分别绘于图上。其中，z值一般选取断面形心点的数值来标绘，相应的亦选用形心点的动水压强来标绘。

把各个断面表示z值的点连接起来得到位置水头线。

把各个断面表示值的点连接起来得到测压管水头线。测压管水头线反映了水流中势能沿流程的变化规律，测压管水头线在位置水头线之上，则压强为正；反之为负。

把各个断面表示值的点连接起来得到总水头线。总水头线反映了水流总机械能沿流程的变化规律。

对于实际液体，水头损失肯定是沿流程不断增加的，所以实际液体的总水头线必定是沿流程逐渐下降的。任意两个断面之间的总水头线的降低值，即为该两个断面间的水头损失h_w。在水力学中，总水头线沿流程的下降情况常用单位流程上的水头损失，即水力坡降J来表示。

当总水头线为直线时，水力坡降J为：

当总水头线为曲线时，水力坡降J为：

因总水头损失的增量dH一定是个负值，为使水力坡降J为正值，故在上式中加负号。

需要理解的是，测压管水头线沿流程可升可降，也可能是一条水平线。对于河渠中的渐变流，其测压管水头线就是水面线。

三、能量方程的应用条件

实际液体恒定总流的能量方程在应用时，必须满足以下条件：

（1）水流必须是恒定流。

（2）液体为不可压缩液体，且作用于液体上的质量力只有重力。

（3）建立能量方程时，两个计算过水断面应满足均匀流或渐变流条件，但两个过水断面之间的水流也可为急变流。

（4）两个过水断面之间没有流量的汇入或分出，即总流的流量沿流程不变。

（5）两个过水断面之间除水头损失外，水流没有其他能量的输入或输出。

为了更好地利用能量方程解决实际问题，还需注意以下几点：

（1）基准面的选取。基准面是计算位置水头z的标准，基准面可以任意选取，并不影响计算结果，但必须为一水平面。同一能量方程中，在计算两断面的位置水头时，必须采用同一基准面。

（2）计算断面的选择。计算断面必须满足均匀流或渐变流条件，还需注意把计算断面选在已知条件较多，并含有待求未知量的断面上。

（3）计算点的选择。恰当选取适宜的计算点可简化计算。例如，计算点如选在自由表面或管道出口处时，p=0；如计算点选在基准面上时，z=0。通常，对于管流一般选择管轴中心点为计算点；对于明渠选自由水面上的点为计算点。

（4）压强计算标准的选择。能量方程中动水压强p₁、p₂用相对压强或绝对压强计算都可以，但同一能量方程中必须采用同一计算标准。考虑到计算方便，多采用相对压强。

（5）动能修正系数α的选取。严格地讲，动能修正系数α₁与α₂并不相等，且不等于1.0，但因它们的数值相差不大，对于渐变流或均匀流，为计算方便，往往取α₁=α₂=1.0。

（6）应用能量方程解决实际问题时，如同时出现的未知量较多，应考虑与其他方程联合求解，多与连续性方程联合求解。

四、能量方程的应用

（一）文德里流量计

文德里流量计是一种测量有压管道中流量大小的装置，它由收缩段、喉管、扩散段三部分组成，安装在需要测定流量的管道中，如图2-13所示。在断面1—1和断面2—2处分别安装一根测压管，也可直接设置压差计，通过断面1—1和断面2—2测压管水头差Δh值，即可根据能量方程计算出管中流量。其原理如下：

将管道水平放置，取管轴线所在的水平面0—0为基准面，建立断面1—1和断面2—2的能量方程，且暂不考虑水头损失，有

因z₁=z₂=0，，，取 α₁=α₂=1.0，则

设断面1—1和断面2—2处管道直径分别为d₁、d₂，根据连续性方程：

v₁A₁=v₂A₂

将v₁与v₂的关系代入公式，得

或

因此，通过文德里流量计的流量为：

令

当管道直径d₁和d₂确定后，K为一定值，测得两测压管水头差Δh后，便可计算出流量Q值。

但由于实际液体存在水头损失，通过公式计算的流量要比实际通过文德里流量计的流量要大，为此，引入流量系数μ加以修正，则实际流量公式为：

式中 μ——文德里流量计的流量系数，一般为0.95～0.98。

如当测压管水头差Δh较大，不便测读时，可在文德里流量计断面1—1和断面2—2处直接安装水银压差计，如图2-14所示。

由压差计原理可知：

因γ_m=133.3kN/m³，γ=9.8kN/m³，则

式中 Δh——水银压差计两支水银面高差。

此时，文德里流量计的流量为：

【例题2-5】有一文德里流量计，如图2-14所示，已知管径d₁=15cm，d₂=10cm，水银压差计高差Δh=20cm，实测管中流量Q=60L/s，试求文德里流量计的流量系数μ。

解：流量系数

（二）毕托管测流速

毕托管是一种应用于测量渠道和管道中液体流速的仪器，其测速原理就是液体的能量转化与守恒原理，现分析如下。

在运动液体中某点B放置一根弯成直角的两端开口的细管，即测速管，如图2-15所示。测速管的前端对准来流，另一端垂直向上，水流质点经B点沿细管进入，受弯管的阻挡，流速变为零，动能全部转化为压能，使得测速管中的水面上升至高度。在过B点的同一水平流线的上游，取一与B点非常接近的A点，在A点装一测压管，A点流速为u，测压管高度为。由于A点和B点很近，暂忽略两者之间的能量损失，取A、B两点所在平面为基准面，列A、B两点的能量方程：

即

式中 Δh——两根测压管的液面差。

实际测量中是把两根管子并入一根弯管中，如图2-16所示。考虑到毕托管前端孔与侧面孔的位置不同，测得的不是同一点上的能量；而且考虑毕托管放入液体中会产生扰动，使得测压管液面差Δh可能与实际值有误差，应引入修正系数μ，即

式中 μ——毕托管修正系数，一般为0.98～1.0；当毕托管使用过久或测量精度要求较高时，μ值应重新确定。