1.4.4 对比灵敏度函数公式

CSF在决定图像分辨率、图像质量改善、半色调设计和图像压缩中起着十分重要的作用。因此，对于CSF就有许多推导公式，一些重要的公式如下所述。

Campbell等人创建了一个经验公式，它用来解释对比灵敏度V（f_r）在径向空间频率f_r上的依赖性。

式中，α、β为常数；k为相对于平均亮度的比例常数。Analoui和Allebach通过实验和误差发现，α=0.012和β=0.046与Campbell的实验数据相吻合。当f_r从0开始增大时，V（f_r）也开始增大，并在f_r=ln（α/β）[2π（α-β）]时达到最大值，随后随着空间频率的增加而减少。因此，此CSF表现了一个带通滤波特性。当α=0.012和β=0.046时，f_r的最大值出现在6.3cpd处。

Mannos和Sakrison估算了眼睛的空间频率灵敏度，这通常被称为“调制传递函数”（MTF），它用来得出一个能够很好预测编码图像主观质量的公式：

式中，a、b、c、d是由9个测试者对图像判断所得的视觉实验常数，结果为a=2.6，b=0.0192，c=0.114，d=1.1。参数f_r是以cpd为单位的视觉对象角的标准径向空间频率。这个MTF的对比灵敏度的峰值在8cpd左右，其灵敏度在高频区的减弱相当于人类视觉的低通滤波特性。灵敏度在低频区的减弱解释了“同步对比错觉”（对一个确定的灰度级区域，当其周围是一个更亮的灰度时所受到的影响）和马赫带现象（具有不同色调级的两个区域在边缘出现时，人眼能在边缘较亮的那侧感受到一个亮带，在边缘的暗侧感受到一个暗带）。

Nasanen提出了一个视觉模型用来解释半色调图像的可见性，该模型是一个基于指数函数的循环对称模型。视觉CSF的下降部分V_L，在空间频率高于2cpd处可由一个指数函数，如式（1-19）来表示，即

式中，α和k是只依赖于显示器的平均亮度的系数。指数的斜率随着平均亮度的增加而减小，因此系数α和k是平均亮度L的函数，则式（1-19）变为

其中

且

式中，δ、γ、ε、ζ、η分别为常数131.6、0.3188、1.0、0.525、3.91。

近年来，Nill和Bouzas提出了一个CSF，如式（1-23）：

式中，b=0.2，c=0.45，d=0.8。

Mannos-Sakrison、修正的Mannos-Sakrison、Nasanen（平均亮度为11cd/m2）和Nill-Bouzas所给出的灵敏度曲线，除了Nasanen曲线，它们都具有带通滤波特性，而Nasanen模型可以看成一个低通滤波器。

Kelly进行了一个实验来解释在小的、不平稳的和随机的眼部运动下追踪和补偿“稳定的”观察条件。该实验利用在一个显示器屏幕上显示具有空间频率成分（f_x，f_y）的无色正弦光栅来进行。光栅振幅的频率ω是关于它的标称亮度L的，以正弦的方式调制所得的刺激函数，如式（1-24）：

实验目的是直接改变ΔL，直到其超过可以被感知的刺激的阈值。这个过程对不同（f_x，f_y，ω）值重复进行，因此定义了一个函数ΔL（f_x，f_y，ω）。基于这个函数，Kelly提供了适合一个具有大范围频率的曲线数学表达式：

式中，