习题

1.计算下列行列式：

（1）；（2）；

（3）；（4）。

2.取何值时，行列式？

3.已知行列式，计算，其中为该行列式中第一行第j列元素的代数余子式。

4.（1）求的值，使线性方程组有非零解。

（2）讨论为何值时，线性方程组有唯一解，并求出其解。

5．计算下列矩阵乘积：

（1）；

（2）。

6．已知两个线性变换和，求从到的线性变换。

7．设，，求：①；②。

8．设为n阶矩阵，若已知，求。

9．设n阶矩阵的伴随矩阵为，证明：。

10．设，，它们满足，求未知矩阵。

11.设，，则：①计算；②求向量，使。

12.向量，，能否分别由向量组线性表出？若能，求其表达式；若不能，说明原因。

13.当取何实数时，下列向量正交：

（1）；（2）。

14.设，，求一个单位向量，使得与都正交。

15.已知3阶方阵的特征值为1,2,-1，求：

（1）和的伴随矩阵的特征值；

（2）。

16.设3阶实对称矩阵的特征值为1,2,3,属于特征值1,2的特征向量分别是，。

（1）求属于特征值3的特征向量；

（2）求矩阵。

17.设，则：①将对角化；②计算。

18.工业发展与环境污染在社会发展中是互相制约的关系。某地区经充分调研，当确定以4年为一个发展周期时，找到它们有如下的关系：

其中，是该地区目前的污染损耗（由土壤、河流及大气等污染指标测得）；是该地区目前的工业产值；则表示经历第n个发展周期（4n年）后该地区的污染损耗和工业产值，记

（1）写出式（1.18）的矩阵表示，如果当前水平，求经历第一个发展周期后该地区的工业产值；

（2）预测若干年后该地区的工业产值。