3.7　迹运算

在不使用求和符号的情况下，有的矩阵运算会难以描述，而通过矩阵乘法和迹运算符号，则可以清楚地进行表示。一个n阶方阵A的主对角线上各个元素的总和被称为矩阵A的迹，迹运算返回的是矩阵对角元素的和：

矩阵的迹有众多的性质，接下来将列出较为重要的几种。

（1）迹运算提供了另一种描述矩阵F范数的方式：

（2）矩阵的迹运算满足多个等价关系。例如，迹运算在转置运算下是不变的：

Tr（A）=Tr（AT）

多个矩阵相乘得到的方阵的迹，和将这些矩阵中最后一个挪到最前面之后相乘的迹是相同的（需要注意的是，在进行该操作时要保证挪动之后的矩阵乘积依然定义良好）。

Tr（ABC）=Tr（CAB）=Tr（BCA）

n个矩阵的有效迹的通用的表达式如下所示：

即使循环置换后矩阵乘积得到的矩阵形状发生改变，迹运算的结果仍然保持不变。例如，假设矩阵A∈Rm×n，矩阵B∈Rn×m，可以得到如下表达式。

Tr（AB）=Tr（BA）

尽管AB∈Rm×m和AB∈Rn×n。值得注意的是，标量在迹运算后仍然是它自身：a=Tr（a）。