2.2　图像的数学表征

2.2.1　图像基本模型

由前面内容可知，图像可以用函数来表示。假设一幅图像被定义为一个二维函数I(x,y)，其中，(x,y) 是空间二维平面坐标，在任何一个空间坐标(x,y) 处的函数幅值I(x,y) 称为图像在该点处的强度、亮度或灰度。当x、y和I(x,y) 是有限的离散数值时，该图像称为数字图像。数字图像是由有限数量的元素组成的，每个元素都有一个特定的位置(x,y) 和幅值I(x,y)，这些元素称为图像元素或像素（Pixel）。

I(x,y) 是一个正的标量，其强度值正比于物理源（电磁波）所辐射的能量。因此，I(x,y) 具有非零性和有限性，即

0<I(x,y)<∞

（2-1）

I(x,y) 可由两个分量来表征：一是入射到被观察场景的光照总量；二是场景中物体所反射的光照总量。这两个分量分别称为入射分量和反射分量，且分别表示为i(x,y) 和r(x,y)，因此，这两个分量相乘就可以得到I(x,y)，即

I(x,y)=i(x,y)r(x,y)

（2-2）

式中：

0<i(x,y)<∞

（2-3）

0<r(x,y)<1

（2-4）

式（2-4）指出，反射分量限制在0（全吸收）和1（全反射）之间。i(x,y) 的性质取决于照射光源，而r(x,y) 的性质取决于成像物体的特征。这种表示方式还可用于照射光通过一个媒体形成图像的情况，如胸透X射线图片，用透射系数代替反射系数，其余不变。

2.2.2　图像数字化

为了用计算机存储、处理图像，我们必须用合适的离散数据结构来表示图像，如采用矩阵的形式，因此，图像就需要进行数字化。图像的数字化过程一般包含两部分：采样和量化。假设图像采集器所获取的图像是平面上两个坐标的函数I(x,y)，采样是指将I(x,y) 采样为一个M行N列的矩阵，即对坐标x和y进行数字化；而量化则是指将I(x,y) 的幅值划分为k个区间，为每个区间赋予一个整数数字，即对I(x,y) 的幅值进行量化。采样及量化越精细（M、N、k越大），I(x,y) 对原始图像的近似就越好。

1.采样

图像采样有两个问题：一是确定采样的间隔，即相邻采样图像点的距离；二是设置采样点的几何排列，即采样栅格。一幅图像在采样点处被数字化，这些采样点是在平面上有规则排列的，称它们的几何关系为栅格。因此，数字图像就成为一个数据结构，通常是矩阵。在此需要注意栅格与光栅的区别，光栅是指在点之间定义了相邻关系的栅格。在实际应用中，栅格通常是方形的或是正六边形的，如图2-6所示。

栅格中一个无限小的采样点对应于数字图像中的一个像素，称为图像元素、像元（Image Element），整幅图像被全体像素覆盖，这个定义与前面的定义实质上是一样的。实际的数字转换器捕捉的像素具有有限的尺寸，这是因为采样函数不是一组理想的狄拉克冲击，而是一组有限冲击。从图像分析的角度看，像素是不能再分割的一个单位，通常也用一个“点”来表示一个像素。

2.量化

在图像处理中，采样的图像数值用一个数字来表示。量化是将图像函数I(x,y) 的连续数值（亮度值）转变为其数字等价量的过程。为了使人们能够察觉图像的细致变化，量化级别要足够高。大部分数字图像处理都采用k个等间隔区间的量化方式。如果用bbit表示像素的亮度值，那么亮度级别是k=2b。通常采用每个像素每个通道8bit的表示方式，也有一些系统使用其他表示方式，如16bit。对于数字图像，每个像素的亮度值在计算机中的有效表示一般需要8bit、4bit或1bit，即计算机存储的每字节相应地可以存储1、2、8个像素的亮度值。

当量化级别不够时，图像会出现伪轮廓（False Contours）问题。当亮度级别小于人眼能够分辨的量化级别时，也会出现伪轮廓问题。量化级别与许多因素有关，如平均的局部亮度值，通常在显示时需要最少100级才能避免出现伪轮廓问题。伪轮廓问题可以通过非等间隔的量化策略来解决，具体的方法是对图像中较少出现的亮度值用比较大的量化间隔。

2.2.3　数字图像表示

根据2.2.2节的内容，通过采样和量化可以把连续图像函数转换为数字图像。假设我们把一个连续图像采样为一个二维矩阵I(x,y)，该矩阵包含M行和N列，其中，(x,y) 是二维离散坐标。我们对这些离散坐标使用整数值，即x=0,1,2,⋯,M-1 和y=0,1,2,⋯,N-1。这样，数字图像在原点处的值是I(0,0)，第1行中下一个坐标处的值是I(0,1)。这里，符号(0,1) 表示第1行的第2个样本，它并不意味着对图像采样时的物理坐标值。通常，图像在任何坐标(x,y) 处的值记为I(x,y)，其中，x和y都是整数。由一幅图像的坐标构成的实平面部分称为空间域，x和y称为空间变量或空间坐标。

通常表示图像的方法有3种，如图2-7所示。

第1种方法是函数图表示，如图2-7（a）所示，用两个坐标轴x、y决定空间位置，第3个坐标轴是灰度值I(x,y)。通常，复杂图像的细节太多，用函数图很难解释图像的结构。但是，当用三维坐标(x,y,I) 的形式表示灰度值时，这种表示是很有用的。

第2种方法是图像直接表示，如图2-7（b）所示。它显示了I(x,y) 出现在显示器或图片上的情况。该情况下每个点的灰度值与该点处的I(x,y) 的值成正比。图2-7（b）中仅有3个等间隔的灰度值。如果灰度值被归一化到区间[0,1]，那么图2-7（b）中每个点的灰度值都只有0、0.5、1三种情况。

第3种方法是矩阵表示，即将I(x,y) 的值简单地显示为一个矩阵，如图2-7（c）所示。在这个例子中，矩阵I(x,y) 的大小为600×600，即360000个数字。打印整个矩阵是很麻烦的，且传达的信息并不直观，但是，在算法开发中对图像进行分析处理时用矩阵表示很有用。

以上3种表示方法的原点都位于左上角，其中，正x轴向下延伸，正y轴向右延伸。这种表示主要基于图像显示的方式，即大多数图像显示都从左上角开始，然后一次向下移动一行。更重要的是，矩阵的第1个元素按惯例应该在阵列的左上角，因此，原点选择在左上角在数学上是讲得通的。这种表示也是基于标准的右手笛卡儿坐标系的。

在这3种表示方法中，后两种是最有用的。图像显示有利于快速观察结果，数值矩阵有利于处理分析和算法开发。将一个M×N的数值矩阵表示为

式（2-5）的两边以等效的方式定量地表达了一幅数字图像。右边是一个实数矩阵，该矩阵中的每个元素I(i,j) 为像素。在某些情况下，使用传统的矩阵表示法来表示数字图像及其像素更为方便，即

式中，显然有ai,j=I(x=i,y=j)=I(i,j)，因此，式（2-5）和式（2-6）是相同的矩阵。