第二章 什么是多面体？
夫人，那是一个古老的词汇，可每个人都觉得它是新的，而且以自己的方式不停地使用它。它得到某种意义的时候如同充满了气的气囊，但这意义溜走得也很快。它能像气囊一样被扎破，经过缝补后也可以再次被吹胀起来。
——欧内斯特·海明威，《死在午后》
根据《牛津英语词典》的记录，“多面体”这个英语单词最早出现于1570年，来自亨利·比林斯利爵士翻译的欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）。“多面体（polyhedron）”源于希腊语词根poly（意为多）和hedra（意为座位）。那么，polyhedron就有很多能使自己坐于其上的“座位”。虽然hedra的原本含义是座位，但至少从阿基米德的时代开始，它就成了形容多面体的“面”的标准术语。因此，polyhedron的一个合理翻译是“多面”。到了欧拉的时代，hedra已经有了通行的拉丁语音译。
多面体是一种常见的由多边形面构建而成的3维几何对象。图2.1中展示了多面体的几个例子，其中包括一般的立方体、简单的金字塔（正式名称是正四面体）、优雅的正二十面体，以及足球状的二十面体。
图2.1 几种多面体
由于兼具形态美和对称性，多面体在艺术、建筑、珠宝和游戏领域都有着举足轻重的地位。任何一个曾路过新潮物品店的人都知道，有些人相信多面体（尤其是水晶）中蕴藏着神秘的力量。多面体也出现在自然界中，例如一些宝石和单细胞生物的形状。
多面体的性质已经吸引了数学家们几千年之久。为了证明关于多面体的定理，给出多面体的精确定义是很关键的。然而，直到多面体的理论发展到后期，才有人尝试定义多面体。许多年来，数学家们定义多面体的方式都是“等你看到一个你就知道了”。他们采用的是《鹅妈妈童谣》中矮胖子的哲学：“当我使用一个词的时候，它表达的恰好就是我想表达的意思——一点不多一点不少。”但这从来也不是一种取得进展的好方式。如同亨利·庞加莱（1854—1912）所写：
“那些使数学家殚精竭虑的对象长久以来都没有被很好地定义。我们自认为了解它们，因为我们是用感觉或想象来描述它们的；但我们所拥有的不过是一种对它们的粗浅印象，而不是一种能用理性掌控的精确概念。”
做研究时，如果没有适当的定义，就有可能——在多面体的情形中则确实——导致理论的不精确和不一致。我们将会看到，正因为欧拉没有明确地定义“多面体”，他对多面体公式的证明才会在严密性上有所缺失。
让人们对一个定义的恰当性达成共识是一件超乎想象的难事。过去的几个世纪涌现出了很多提议，但它们并不都是等价的。由于这种不一致性，没有任何一个多面体定义适用于所有的相关文献。
我们也许会天真地把多面体定义为一种由多边形面构成的形体，其中每条棱都恰好为两个面所共有，每个顶点都至少发散出三条边。这个定义看上去的确合理，但仔细检查之后我们就会发现，符合这个定义的某些立体与我们对多面体的直觉性认知相悖。尽管没有人会否认图2.1中的对象是多面体，但我们不禁会疑惑，图2.2中的形体（它们中有三个满足上述定义）是否该被归入多面体之列。
图2.2 一些不是凸多面体的形状
这不是一道陷阱题。历史上，关于图2.2中的对象到底是不是多面体，人们并没有达成共识。最左边的形体，也就是挖掉了一个角的立方体，在最现代的定义之下是多面体；然而最古老的多面体定义——例如被古希腊人和欧拉隐式假设了的那种定义——不允许一个多面体有凹陷的部分。类似地，第二个形体按照很多数学家的标准是多面体，但它却被一条“隧道”所贯穿，它就像是一个用平坦的面做成的甜甜圈，我们应该把这种形体看作多面体吗？第三个形体由两个相交于一点的多面体组成，第四个则由两个交于一条棱的多面体组成。根据大多数定义，它们不是多面体（尽管第三个形体满足了上文中我们提出的标准）。这两个形体各有两个内部，如果你给它们注水，那你就需要灌满两个不同的“隔间”。我们还可以展示一些更“病态”的例子，它们都违背了我们对多面体的原本设想。
眼下，我们先采取一种简单办法来规避给出严格定义的棘手任务。因为我们即将展示欧拉公式的发展历程，所以我们可以把注意力集中于一小类更容易定义的多面体。我们将用老式的观点看待多面体，也就是欧拉和古希腊人都会认同的那种观点。尽管从未被明确表述过，但历史上的学者们还是假设了多面体是凸的。一个凸多面体满足我们提到过的“天真定义”，并且还具备另一个性质——过任意两个属于它的点画一条直线，这两点所截得的线段也完全属于它。这就意味着凸多面体不能有凹陷的部分。依照这个定义做一个快速检查，我们会发现图2.1中的形体都是凸的，而图2.2中的形体都是非凸的。
我们可以看出，这就是古希腊人的假设。他们把多面体的面看成可以让多面体“安坐”的座位。图2.1中的每个多面体都可以“坐”在它的任何一个面上，但图2.2中的每个多面体都至少有一个面不能充当座位。当我们掌握更多理论工具之后，我们就能把欧拉公式应用到范围更广的一类多面体上；但为了简洁性，也出于历史原因，我们现在只考虑凸多面体。
最后，让我们稍作停留，解决另一个有分歧的历史问题：多面体是实心的还是空心的？有些定义坚持要求多面体是实心的3维对象，另外一些则规定多面体是空心且由2维“皮肤”制成的。选择第一个定义的人会用黏土捏出多面体，选择第二个定义的人则会用纸张做出多面体。在多面体的早期历史中，人们假设它是实心的。事实上，很多个世纪以来，多面体都被称作“立体”。后来，当多面体理论开始转化为拓扑学时，空心的假设就占了上风。这一假设使得关于多面体的定理可以被推广到空心的球面和环面上。就我们即将谈到的大部分内容而言，空心模型和实心模型同样有效。除非对于讨论至关重要，否则我们将不会显式地假设两种模型中的任何一种。