三、期望效用理论

在早期的决策理论中，学术界选择货币的数学期望值作为人们决策的目标。在期望价值准则中，一个决策变量d的期望值等于它在不同自然状态下的损益值乘上相对应的发生概率之和（郭立夫和李北伟，2006）。

式（1.1）中E（d_i）是决策变量d_i的期望值，d_ij是决策变量在状态θ_j下的损益值，p（θ_j）是自然状态θ_j发生的概率。期望价值准则认为，人们决策时会遵守期望价值最大化的原则。

1738年，俄罗斯圣彼得堡大学的尼古拉·伯努利提出了一个无法用数学期望值来解释的“圣彼得堡悖论”。圣彼得堡实验让人们对以下彩票进行估值：，彩票中的整数和分数分别代表价值和概率。尼古拉·伯努利找到了很多圣彼得堡大学的学生和教授，他们对上述彩票的估值普遍是5到7，这与彩票无穷大的数学期望值相差甚远。后来，经济学家丹尼尔·伯努利采用“效用”来解释彩票在人们心目中的价值。丹尼尔·伯努利认为效用是货币价值的函数，它呈现出边际效用递减规律。

早期的关于效用（Utility）的经济学定义是：经济主体从占有一定数量的某种物品中得到的满足程度（热叙阿，巴拉鲁斯，维特里，等，2012）。虽然效用是经济学的基本概念，但是效用的绝对数值无法直接计量。后来经济学又发展出序数效用概念：效用是用来表达某经济主体对供他选择的一套元素的偏好顺序（热叙阿，巴拉鲁斯，维特里，等，2012）。

1947年，冯·纽曼和摩根斯坦在其经济学巨著《博弈论与经济行为》中对于效用概念做出了严格的数学定义，并提出了期望效用理论。期望效用理论认为，彩票A=（x₁，p₁；x₂，p₂；…；x_n，p_n）(2)的期望效用值为：

式（1.2）是期望效用计算的基本公式，它的数学含义是：彩票A的期望效用值等于彩票中每个价值产生的效用的加权平均值。

根据《博弈论与经济行为》著作中的数据结论，参照《经济学词典》中总结的冯·纽曼－摩根斯坦公理体系，本书归纳了期望效用理论的六条相关公理，它们是：

公理1：传递性公理（顺序性公理）。假设有三种彩票A₁、A₂和A₃，如果三种彩票的偏好顺序为，那么(3)。

公理2：连续性公理。假设存在三种彩票，如果三种彩票的偏好顺序为，那么一定存在着一个A₁和A₃的组合，该组合等价于A₂。连续性公理认为偏好可以用连续性数字进行表达。

公理3：恒定性公理。对于相同问题的不同表达方式不影响决策结果。彩票的自身因素和彩票之间的关系是决策的关键，问题的描述方式与决策结果无关。

公理4：替换性公理。彩票A₁的价值可以被认定为一个数值解x_i。在决策过程中，彩票A₁和数值x_i可以相互替换。

公理5：独立性公理。如果两个彩票的偏好顺序是A₁≻A₂，假设有第三个彩票A₃，如果任意给定的数值α∈[0，1]，存在着以下关系：α A₁+（1-α）A₃≻α A₂+（1-α）A₃。

公理6：一阶随机占优公理。如果彩票A₁在某一个方面优于彩票A₂，并且彩票A₁在其他方面都不亚于彩票A₂，那么A₁优于A₂。

期望效用理论的效用函数是一个包含上述六个假设性公理的泛函数，它具有严格的数学逻辑和规范的模型表达。期望效用理论在多数情况下符合人们的决策规律。期望效用理论在众多经济学家的完善下，成为经济学的理论基石。