第1讲 论证与计算（一）
第1节 三角形中的三边关系
一、典型例题讲解
【例1】 如果你用3根小木棍摆成了一个如下图所示的三角形，仔细看一看，你能从中发现什么？
解：由于“两点之间线段最短”，故知在这个已经构成的三角形中必定有三角形的两边之和大于第三边，即
a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b
进而联想到以下情形。
a＞c-b b＞c-a c＞b-a
因此，三角形中两边之差小于第三边。
【例2】 用下图所示的3根小木棍，你能不能摆出一个三角形？据此，你能想到什么？
解：在上图中，a = 2，b = 3，c = 6，由于2+3≯6，所以用它们摆不成三角形。
可知，在给定的3条线段中，若两条线段相加之和不大于（小于或等于）第三边，则它们构不成三角形。
进而联想，用边长为1、2、3的一组小木棍或边长为2、3、5的一组小木棍，必定也摆不成三角形，对吧？
【例3】 若在给定的3根小木棍中，有两根小木棍的长度之和大于第三根，这时你能否说用这样的3根小木棍就一定能围成一个三角形？
解：不能肯定（因为已知条件不够，即不充分）。
经观察，我们有以下两个发现。
①若较短的两根小木棍的长度之和大于最长者，则它们能围成一个三角形，如下图所示。
②若所取的两根小木棍中不含最短者，则它们不一定能围成一个三角形，如下图所示。
进而联想，数学语言是非常严谨的，马马虎虎、随随便便地说是不行的。不能因为知道了“三角形的两边之和大于第三边”而不动脑子随便说“在3根小木棍中，若两根的长度之和大于第三根，我们就一定能用它们摆成一个三角形”。为什么呢？请仔细地想一想，“在3根小木棍中，两根的长度之和大于第三根”有两种不同的情况：一是3根长度像2、3、4这样的小木棍，因为2+3＞4，2+4＞3，3+4＞2，所以用它们一定能摆成一个三角形；二是3根长度像1、2、4这样的小木棍（如上图所示），此时虽然4+1＞2，4+2＞1，但1+2≯4，所以用它们不能摆成一个三角形。
数学家说，在3根小木棍中，“两根小木棍的长度之和大于第三根”是三者能围成三角形的必要条件。但只有这一条还不行，还必须增加那两根小木棍是“较短的两根小木棍”这一个条件才行。这好比“有饭吃”是“能活”的必要条件，但是光“有饭吃”不行，还必须满足“有水喝”等条件。
【例4】 3条边皆为整数且最长的边为5的三角形有几个？
解：较短的两条边之和大于5时就可以构成三角形。
因此，可以构成的三角形共有9个，即5+3+1=9。
【例5】 3条边皆为整数且最长的边为11的三角形有几个？
解：较短的两条边之和大于11时，可构成三角形。这里a=11，如右图所示。可知，a、b、c之间的关系有以下情形。
①a=11，b=11，共有11个三角形。
②a=11，b=10，共有9个三角形。
③a=11，b=9，共有7个三角形。
④a=11，b=8，共有5个三角形。
⑤a=11，b=7，共有3个三角形。
⑥a=11，b=6，有1个三角形。
因此，共有36个三角形，即11+9+7+5+3+1=36。
【例6】 3条边皆为整数且最长的边为19的三角形最多可能有几个？
解：另外两条较短的边之和大于19时，这3条边就能构成三角形。这里已知a=19，如右图所示。
b=19时，c的取值有19个，即c=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19。
b=18时，c的取值有17个，即c=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18。
b=17时，c的取值有15个，即c=3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17。
……
b=12时，c的取值有5个，即c=8、9、10、11、12。
b=11时，c的取值有3个，即c=9、10、11。
b=10时，c的取值有1个，即c=10。
因此，最多有100个三角形。
【例7】 3条边皆为整数且最长的边为99的三角形有多少个？
解：另外两条较短的边之和大于99时，这3条边即可构成三角形。回顾前边几道例题的情况，总结如下。
最长的边为5的三角形的个数为：5+3+1=9（个）。
最长的边为11的三角形的个数为：11+9+7+5+3+1=36（个）。
最长的边为19的三角形的个数为：19+17+15+…+5+3+1=100（个）。
啊！我们发现了规律。最长的边为99的三角形的个数为
知识拓展：学习用归纳法找规律，求奇数的个数。
1、3、5、7、9→5个奇数
1、3、5、7、9、11、13、15、17、19→10个奇数
1、3、5……25、27、29→15个奇数
1、3、5……35、37、39→20个奇数
……
1、3、5……95、97、99→50个奇数
哦，明白了！连续奇数序列中所包含的奇数个数为
（末数-首数）÷2+1
二、练习与提高
（1）有下面两组小木棍，摆一摆，想一想。
①用3根一样长的小木棍摆一个等边三角形，再用橡皮泥将其黏住。
②用两根一样长的小木棍和一根较短的小木棍摆一个等腰三角形，再用橡皮泥将其黏住。
③一个等边三角形必定是一个等腰三角形，对吗？反过来说，每个等腰三角形都是等边三角形，对吗？
（2）摆直角三角形。
①用下图所示的3根小木棍摆一个直角三角形，再用橡皮泥将其黏住。注意：这3根小木棍的长度不是随意的，若以一根火柴棍为单位去测量，它们的长度分别是3、4和5。
②若改用下图所示的长度分别为2、4和5的3根小木棍，还能摆成直角三角形吗？
③改用下图所示的长度分别为4、4和5的3根小木棍，还能摆成直角三角形吗？
④改用下图所示的3根长度分别是3、4和6的小木棍，能摆成直角三角形吗？
⑤通过动手做，你有什么发现？
（3）边长只可能为2、3、7或11的等腰三角形共有多少种？
提示：等边三角形也是等腰三角形。
（4）请试一试用下面6组小木棍能不能摆成直角三角形。
第一组：6、8、10。
第二组：9、12、15。
第三组：5、12、13。
第四组：7、24、25。
第五组：8、15、17。
第六组：12、35、37。
也可以采用另外一种方法，请几个小朋友在地上将打好结的绳子拉直，看看能不能得到直角三角形。
（5）小明喜欢几何，老师常常鼓励他。一天，老师给了他9根长度各不相等而都是整厘米数的小木棍，其中最长的是55厘米。老师叫小明用它们摆成一些三角形。小明很高兴，心中非常感激老师的关怀和培养。但是，好长时间过去了，小明连一个三角形也没摆成。小朋友，你能猜出这是怎样的9根小木棍吗？你能和小明讨论一下，为什么不能用这9根小木棍摆出三角形？
（6）如下图所示，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的任意一点，连接AD、BE、CF。
求证：
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