4.4.2 利用牛顿迭代法求大数开方
自从把一段功能独立的代码剥离为可以复用的方法，计算机语言的编码效率顿时得到了飞跃的提升，因为许多数学函数都能书写为公共方法给外部调用。除了前面介绍的阶乘函数之外，开方函数也能编写为公共的开根号方法，尽管系统自带的Math库已经提供了sqrt这么一个开平方函数，但JDK的源码并非给出该方法的Java实现代码，故而我们有必要了解一下如何通过Java代码实现开根号方法。
根据之前介绍的牛顿迭代法，能够得出求平方根的迭代式子为。由于多次迭代的过程可以借助循环语句完成，因此可通过while关键字编写求方根的方法定义，具体的方法代码示例如下（完整代码见本章源码的src\com\method\BigNewton.java）：
// 计算双精度数的平方根
private static double sqrtByDouble(double number) {
double Xm=number; // 每次迭代后的数值
while (true) {
double lastXm=Xm; // 上次迭代的平方根
Xm=(Xm + number/Xm) / 2; // 本次迭代后的平方根
// 迭代前后的两个平方根相等，表示已经达到变量精度，再计算下去就没意义了
if (Xm >= lastXm) {
break;
}
}
return Xm;
}
上述代码之所以添加了if判断，是因为要校验迭代前后的xm与xm+1是否相等，如果二者等值,便说明本次迭代已经达到了双精度类型的精度范围，此时继续迭代也无法获得更好的方根精度，当然要退出循环以避免无谓的运算操作。注意到if判断语句位于while循环的末尾，且满足if条件时就退出循环，因而这段while语句可以改写为do/while语句，改写后的方法代码如下：
// 计算双精度数的平方根（使用do/while循环）
private static double sqrtByDoubleWithDo(double number) {
double Xm=number; // 每次迭代后的数值
double lastXm=Xm; // 上次迭代的平方根
do {
lastXm=Xm; // 保存上次迭代的平方根
Xm=(Xm + number/Xm) / 2; // 本次迭代后的平方根
} while (Xm < lastXm); // 只有迭代前后的两个平方根不等的时候，才要继续执行循环
return Xm;
}
无论是采用while循环，还是采用do/while循环，两个方法计算出来的方根结果是一样的。以下是外部调用其中一个开根号方法的代码例子，准备计算整数2的平方根：
// 测试双精度数的开方运算
private static void testSqrtByDouble() {
double number=2; // 需要求方根的数字
double root=sqrtByDouble(number); // 计算双精度数的平方根
System.out.println("双精度数开方运算，原始数字=" + number + ", 它的平方根=" + root);
}
运行上面的开方代码，观察到下面的日志信息，可见通过自定义的方法也能正确求得数字的 方根。
双精度数开方运算，原始数字=2.0, 它的平方根=1.414213562373095
然而受到存储空间限制，双精度类型只能表达到小数点后面15位，再往后的小数位就无能为力了。虽然这点误差在日常生活中算不了什么，但在精细的金融领域和精密的工程领域是不可接受的，为了计算出足够精确的方根数值，需要采取大小数类型进行开方运算。由于大小数的除法运算不允许出现无限小数，必须在调用相除方法divide时指定保留位数，因此还要引入精度工具MathContext来设定精度参数。同样利用牛顿迭代法编写大小数的开方运算，详细的实现代码如下（完整代码见本章源码的src\com\method\BigNewton.java）：
// 计算大小数的平方根
private static BigDecimal sqrtByBigDecimal(BigDecimal number, int precision){
BigDecimal two=BigDecimal.valueOf(2);
// 指定运算精度，保留若干位数，最后一位四舍五入取整
MathContext mc=new MathContext(precision, RoundingMode.HALF_UP);
if (number.compareTo(BigDecimal.ZERO) <= 0) { // 0和负数不允许开方
return BigDecimal.valueOf(0);
} else {
BigDecimal X=number; // 上次迭代的平方根
// 下面利用牛顿迭代法计算某个大小数的平方根
while (true) {
// 简化之后求平方根的迭代式子：Xm=(Xm + number/Xm) / 2
BigDecimal Xm=(X.add(number.divide(X, mc))).divide(two, mc);
// 如果运算前后的结果相等，就跳出循环。因为已经达到运算精度，再计算下去也无用
if (X.equals(Xm)) {
break;
}
X=Xm; // 保留本次迭代后的方根
}
return X;
}
}
仍然以2为底数计算它的方根，调用大小数的求方根方法时，假定保留小数点后面100位，则外部的调用代码可书写为下面这样：
// 测试大小数的开方运算
private static void testSqrtByBigDecimal() {
BigDecimal number=BigDecimal.valueOf(2); // 需要求方根的数字
// 求得的平方根保留小数点后面100位
BigDecimal root=sqrtByBigDecimal(number, 100); // 计算大小数的平方根
System.out.println("大小数开方运算，原始数字=" + number + ", 它的平方根=" + root);
}
运行上面的大小数开方代码，观察到下面的日志信息：
大小数开方运算，原始数字=2，它的平方根=1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807 3176679737990732478462107038850387534327641573
由日志结果可见，大小数保留了足够的位数，再也不用担心那些专业领域的数值偏差了。既然通过大小数能够求得更精确的平方根，那么也能求得更精确的三次方根、四次方根乃至N次方根，有兴趣的读者可实践一下。