4.4.3 利用大数字求更精确的圆周率
既然开平方的运算代码可以提取为单独的公共方法，同样圆周率的求解代码也能提取为公共方法。利用割圆术逐次在圆圈内部切割内接的正N边形，由此求得的圆周率近似值将越来越逼近它的真实值。根据之前讲述的计算方式，可将迭代部分改写为如下的方法代码（完整代码见本章源码的src\com\method\ExactPai.java）：
// 计算粗略的圆周率
private static double getPaiRough(int n) {
int r=1; // 圆的半径
int d=2 * r; // 圆的直径
double edgeLength=r; // 正n边形的边长
long edgeNumber=6L; // 正n边形的边数
double π=edgeLength * edgeNumber / d; // 正六边形对应的圆周率
for (int i=0; i < n; i++) { // 利用for循环实现迭代功能
edgeNumber=edgeNumber * 2; // 正n边形的边数乘2
double gou=edgeLength / 2.0; // 计算勾
double gu=r - Math.sqrt(Math.pow(r, 2) - Math.pow(gou, 2)); // 计算股
// 通过勾股定理求斜边长（勾三股四弦五），斜边长也是新正n边形的边长
edgeLength=Math.sqrt(Math.pow(gou, 2) + Math.pow(gu, 2));
// 正n边形的周长除以直径，即可得到近似的圆周率数值
π=edgeLength * edgeNumber / d;
}
return π;
}
接着外部调用上面的getPaiRough方法，想要计算双精度类型的圆周率数值，则调用代码示例如下：
// 利用双精度数计算圆周率
private static void calculateByDouble() {
int n=60; // double类型最多只能割60次
long edgeNumber=(long) (Math.pow(2, 60) * 6);
System.out.println("割圆次数=" + n + ", 内接正N边形的边数=" + edgeNumber);
// 使用double类型，割圆术只能内接到正6917529027641081856边形（n=60）
// 再往上割圆的话，Java程序就会错乱
double π_rough=getPaiRough(n);
System.out.println("粗略的圆周率数值=" + π_rough);
}
运行以上的圆周率计算代码，观察到以下的日志信息：
割圆次数=60，内接正N边形的边数=6917529027641081856
粗略的圆周率数值=3.1415926535897936
注意到这里的割圆次数只有60次，却不能继续割下去了，因为再割下去程序就会计算得乱七八糟，原因有二：
（1）double类型最多表达到小数点后16位，再往后不但计算不精确，还会因超出精度范围而导致勾、股、弦计算错误。
（2）long类型也有数值范围限制，割圆次数较多的话，内接正N边形的边数将会超出long类型的表示范围。
为了解决上述两个问题，势必需要分别引入大小数BigDecimal和大整数BigInteger。可是纵然借助大小数和大整数把圆周率计算得更精确，这又有什么意义呢？毕竟初学者离工程等专业领域还远着呢。话虽如此，却也挡不住疯狂理工男的求知热情，日本有人出版了一本书，书名叫作《π》，这本书讲的就是圆周率小数点后面100万位的数字，而且还很畅销。既然人家这么有钻研精神，我们也不能落后，继续发扬老祖宗割圆术的光荣传统，结合勾股定理的神机妙算，一样能够将圆周率计算到小数点之后N位。
于是把原来通过双精度数计算圆周率的方法定义稍加改造，使用大小数类型替换掉双精度类型，并指定除法情况下的小数位精度，则可改造为如下的新式计算方法（完整代码见本章源码的src\com\method\ExactPai.java）：
// 计算精确的圆周率
private static BigDecimal getPaiExact(int n) {
BigDecimal two=BigDecimal.valueOf(2.0);
BigDecimal r=BigDecimal.valueOf(1); // 圆的半径
BigDecimal d=r.multiply(two); // 圆的直径
BigDecimal edgeLength=r; // 正n边形的边长
BigDecimal edgeNumber=BigDecimal.valueOf(6); // 正n边形的边数
BigDecimal π=edgeLength.multiply(edgeNumber).divide(d); // 正六边形对应的圆周率
int precision=110; // 默认保留小数点后面110位
// 设定小数的精度，保留小数点若干位，最后一位四舍五入
MathContext mc=new MathContext(precision, RoundingMode.HALF_UP);
for (int i=0; i < n; i++) { // 利用for循环实现迭代功能
edgeNumber=edgeNumber.multiply(two); // 正n边形的边数乘2
BigDecimal gou=edgeLength.divide(two, mc); // 计算勾
BigDecimal gu=r.subtract(sqrt(r.pow(2).subtract(gou.pow(2)), precision)); // 计算股
// 通过勾股定理求斜边长（勾三股四弦五），斜边长也是新正n边形的边长
edgeLength=sqrt(gu.pow(2).add(gou.pow(2)), precision);
// 正n边形的周长除以直径，即可得到近似的圆周率数值
π=edgeLength.multiply(edgeNumber).divide(d, mc);
}
return π;
}
然后外部调用新改造的getPaiExact方法，具体的调用代码示例如下：
// 利用大小数计算圆周率
private static void calculateByBigDecimal() {
int n=165; // 大数字割到第165次，求得的圆周率可精确到小数点后100位
BigInteger edgeNumber=BigInteger.valueOf(2).pow(n). multiply(BigInteger.valueOf(6));
System.out.println("割圆次数=" + n + ", 内接正N边形的边数=" + edgeNumber);
// 割圆术内接到正280608314367533360295107487881526339773939048251392边形（n=165）
// 计算出来的圆周率精确到小数点后100位
BigDecimal π_exact=getPaiExact(n);
System.out.println("精确的圆周率数值=" + π_exact);
}
运行上面的圆周率求解代码，观察到下面的输出日志：
割圆次数=165，内接正N边形的边数=280608314367533360295107487881526339773939048251392
精确的圆周率数值=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062 862089986280348253421170679165188670
由日志可见，利用大整数类型成功求得了内接正N边形的边数，同时利用大小数类型也成功将圆周率数值推导至小数点后面100位。